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Cuerdas vibrantes y armónicos

Física

Conceptos clave

Una cuerda fija por ambos extremos vibra formando ondas estacionarias.
Los dos extremos son nodos.
Solo son posibles ciertas frecuencias: la fundamental y sus armónicos.
La frecuencia depende de la longitud, la tensión y la densidad de la cuerda.

Modo fundamental

Es el modo más simple: un solo vientre en el centro y nodos en los extremos.
La longitud de la cuerda es media longitud de onda: $L = \dfrac{\lambda}{2}$ .
Su frecuencia es la fundamental (primer armónico).

Armónicos

Los modos permitidos cumplen $L = \dfrac{n\lambda}{2}$ , con $n = 1, 2, 3, \dots$
Las frecuencias son múltiplos enteros de la fundamental: $f_n = n f_1$ .
El armónico $n$ tiene $n$ vientres.

Longitud de onda de cada modo

Del modo $n$ : $\lambda_n = \dfrac{2L}{n}$ .
La frecuencia: $f_n = \dfrac{v}{\lambda_n} = \dfrac{nv}{2L}$ .
$v$ = velocidad de la onda en la cuerda.

De qué depende

Cuerda más corta o más tensa → frecuencia mayor.
Cuerda más gruesa o densa → frecuencia menor.
Por eso se afinan los instrumentos ajustando la tensión.

Ejemplo resuelto

Problema: una cuerda de 0,80 m fija por los extremos con $v = 120\,\text{m s}^{-1}$ . Halla la frecuencia fundamental.
Fundamental: $\lambda_1 = 2L = 2\times0{,}80 = 1{,}6\,\text{m}$ .
$f_1 = \dfrac{v}{\lambda_1} = \dfrac{120}{1{,}6} = 75\,\text{Hz}$ .

En el examen IB

Ambos extremos fijos = nodos; usa $L = n\lambda/2$ .
Los armónicos son múltiplos enteros de la fundamental.
Error frecuente: olvidar que la fundamental tiene $L = \lambda/2$ (no $\lambda$ ).
Más tensión o menos longitud → mayor frecuencia.