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Ecuaciones del MAS

Física

Conceptos clave

Las ecuaciones del MAS dan el desplazamiento, la velocidad y la aceleración en función del tiempo.
Todas oscilan con la misma frecuencia angular $\omega$ .
El desplazamiento sigue una función seno o coseno según el punto de partida.
La velocidad y la aceleración van desfasadas respecto al desplazamiento.

Desplazamiento

Si parte del extremo: $x = x_0\cos(\omega t)$ .
Si parte del equilibrio: $x = x_0\sin(\omega t)$ .
$x=x_0\sin\omega t$ = amplitud; $\omega = 2\pi f$ = frecuencia angular.

Velocidad

Velocidad en función del tiempo: $v = \omega x_0\cos(\omega t)$ (si $x=x_0\sin\omega t$ ).
Velocidad en función de la posición: $v = \pm\omega\sqrt{x_0^{2}-x^{2}}$ .
Velocidad máxima (en el equilibrio): $v_{\max} = \omega x_0$ .

Aceleración

Aceleración: $a = -\omega^{2}x$ (proporcional al desplazamiento, sentido opuesto).
Aceleración máxima (en los extremos): $a_{\max} = \omega^{2}x_0$ .
La aceleración va en contrafase con el desplazamiento.

Desfases

La velocidad adelanta al desplazamiento en un cuarto de periodo (90°).
La aceleración está desfasada 180° respecto al desplazamiento.
Por eso, cuando $x$ es máximo, $v=0$ y $|a|$ es máximo.

Ejemplo resuelto

Problema: un MAS tiene $x_0 = 0{,}10\,\text{m}$ y $\omega = 5{,}0\,\text{rad s}^{-1}$ . Halla $v_{\max}$ y $a_{\max}$ .
Velocidad máxima: $v_{\max} = \omega x_0 = 5{,}0\times0{,}10 = 0{,}50\,\text{m s}^{-1}$ .
Aceleración máxima: $a_{\max} = \omega^{2}x_0 = 5{,}0^{2}\times0{,}10 = 2{,}5\,\text{m s}^{-2}$ .

En el examen IB

Elige seno o coseno según dónde empieza el movimiento (equilibrio o extremo).
Usa $v = \pm\omega\sqrt{x_0^{2}-x^{2}}$ cuando te den la posición en vez del tiempo.
Error frecuente: confundir $v_{\max}=\omega x_0$ con $a_{\max}=\omega^{2}x_0$ .
Trabaja en radianes al evaluar seno y coseno con $\omega t$ .