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Órbitas y leyes de Kepler

Física

Conceptos clave

Un satélite en órbita se mantiene por la gravedad, que actúa como fuerza centrípeta.
La velocidad orbital depende del radio de la órbita.
Las leyes de Kepler describen el movimiento de los planetas.
La energía total del satélite es negativa (sistema ligado).

La gravedad como centrípeta

La fuerza gravitatoria proporciona la centrípeta: $\dfrac{GMm}{r^{2}} = \dfrac{mv^{2}}{r}$ .
De ahí se despeja la velocidad orbital.
$M$ = masa central; $r$ = radio de la órbita.

Velocidad orbital

Despejando: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ .
Las órbitas más bajas (menor $r$ ) tienen mayor velocidad.
No depende de la masa del satélite.

Tercera ley de Kepler

El cuadrado del periodo es proporcional al cubo del radio: $T^{2} \propto r^{3}$ .
En concreto, $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}$ .
Permite comparar órbitas de distintos radios.

Energía en la órbita

La energía total es negativa: el satélite está ligado.
Bajar de órbita libera energía; subir requiere aportarla.
La energía cinética y la potencial se relacionan con $r$ .

Ejemplo resuelto

Problema: halla la velocidad orbital a $r = 7{,}0\times10^{6}\,\text{m}$ de un planeta de $6{,}0\times10^{24}\,\text{kg}$ .
$v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{\dfrac{6{,}67\times10^{-11}\times6{,}0\times10^{24}}{7{,}0\times10^{6}}}$ .
$v = \sqrt{5{,}7\times10^{7}} \approx 7{,}6\times10^{3}\,\text{m s}^{-1}$ .

En el examen IB

Iguala la fuerza gravitatoria a la centrípeta para hallar $v$ o $r$ .
$v = \sqrt{GM/r}$ : las órbitas bajas son más rápidas.
Error frecuente: meter la masa del satélite (se cancela).
Tercera ley de Kepler: $T^{2} \propto r^{3}$ .