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Vida media y ley de desintegración

Física

Conceptos clave

La desintegración radiactiva es aleatoria (no se sabe cuándo decaerá un núcleo concreto) y espontánea (no depende de temperatura, presión ni reacciones químicas).
Aunque un núcleo individual es impredecible, un gran número decae de forma regular y predecible.
La vida media $T_{1/2}$ es el tiempo en que se desintegra la mitad de los núcleos presentes.
Tras cada vida media queda la mitad: el decaimiento es exponencial.

Vida media

$T_{1/2}$ = tiempo para que el número de núcleos (o la actividad) se reduzca a la mitad.
Es constante para cada isótopo: no cambia con el tiempo ni con la cantidad de muestra.
Varía enormemente entre isótopos: desde fracciones de segundo hasta miles de millones de años.

Contar vidas medias

Tras $n$ vidas medias, la fracción que queda es $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}$ .
Núcleos restantes: $N = N_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}$ , con $n = \dfrac{t}{T_{1/2}}$ .
Fracción desintegrada $= 1 - \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}$ .
Ejemplo: tras 3 vidas medias queda $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3} = \tfrac{1}{8}$ (12,5 %).

Actividad

Actividad $A$ = número de desintegraciones por segundo; se mide en becquerel ( $1\,\text{Bq}=1$ desintegración/s).
Es proporcional al número de núcleos sin desintegrar: cae a la mitad cada vida media, igual que $N$ .
Una actividad alta indica muchos núcleos decayendo por segundo (muestra "muy activa").

La curva de decaimiento

La gráfica de $N$ (o $A$ ) frente al tiempo es una curva exponencial decreciente.
Nunca llega a cero: se reduce a la mitad, luego a la cuarta parte, luego a la octava…
Para leer $T_{1/2}$ en la gráfica: busca el tiempo en que la magnitud baja de un valor a su mitad.

Datación radiactiva

Comparando la cantidad actual con la inicial de un isótopo se estima la edad de una muestra.
El carbono-14 ( $T_{1/2}\approx 5730$ años) sirve para datar restos orgánicos.
Se cuenta cuántas vidas medias han transcurrido y se multiplica por $T_{1/2}$ .

Ejemplo resuelto

Problema: una muestra tiene actividad inicial $800\,\text{Bq}$ y $T_{1/2}=6\,\text{h}$ . ¿Actividad tras 24 h?
Número de vidas medias: $n = \dfrac{24}{6} = 4$ .
Fracción restante: $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4} = \tfrac{1}{16}$ .
Actividad final: $A = 800 \times \tfrac{1}{16} = 50\,\text{Bq}$ .

En el examen IB

Error frecuente: multiplicar por $n$ en vez de elevar a $n$ . Siempre es $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}$ , no $\tfrac{1}{2}\cdot n$ .
Comprueba que $t$ y $T_{1/2}$ están en las mismas unidades antes de dividir.
En una gráfica, mide $T_{1/2}$ desde varios tramos (100 %→50 %, 50 %→25 %…) y promedia.
La vida media no depende de la cantidad de muestra ni de las condiciones externas.