Análisis de gráficos

Matemáticas: Análisis y Enfoques

Conceptos clave

Punto estacionario: donde $f'(x)=0$ ; la tangente es horizontal (máximo, mínimo o de inflexión).
Creciente donde $f'(x)>0$ ; decreciente donde $f'(x)<0$ .
Concavidad: $f''(x)>0$ cóncava hacia arriba (∪); $f''(x)<0$ cóncava hacia abajo (∩).
Punto de inflexión: donde la concavidad cambia; ahí $f''(x)=0$ y cambia de signo.

Resuelve $f'(x)=0$ para las coordenadas $x$ .
La coordenada $y$ sale de $f(x)$ (nunca de la derivada).
Criterio de la 2.ª derivada: $f''>0\Rightarrow$ mínimo; $f''<0\Rightarrow$ máximo; $f''=0\Rightarrow$ no decide.

Máximos/mínimos de $f$ ⟶ cortes de $f'$ con el eje $x$ .
$f$ creciente ⟶ $f'$ por encima del eje; $f$ decreciente ⟶ $f'$ por debajo.
Inflexión de $f$ ⟶ máximo o mínimo de $f'$ .

Clasifica los estacionarios de $f(x)=x^3-3x$ .
$f'(x)=3x^2-3=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$ .
$f''(x)=6x$ : en $x=1$ , $f''=6>0$ → mínimo; en $x=-1$ , $f''=-6<0$ → máximo.
Puntos: mínimo $(1,-2)$ y máximo $(-1,2)$ .

Resuelve $f'(x)=0$ algebraicamente (factoriza o fórmula cuadrática) y da valores exactos.
Para clasificar sin GDC usa $f''$ o una tabla de signos de $f'$ .
Sabe leer un gráfico dado: identificar dónde $f'=0$ , $f'>0$ , $f'<0$ sin calcular.
Trampa: confundir " $f''=0$ " con "hay inflexión". Debe además cambiar de signo.

Grafica y localiza extremos: .

MENU 5 (Graph)›F6 (DRAW)›SHIFT›F5 (G-Solv)›MAX / MIN

Cortes con los ejes (raíces): .

G-Solv›ROOT

Punto de inflexión: (o donde f″ corta el eje).

G-Solv›F6 (▷)›INFLECTION

Resuelve f′(x) = 0 numéricamente con si el álgebra es difícil.

Run-Matrix›SolveN

Conceptos clave

Punto estacionario: donde $f'(x)=0$ ; la tangente es horizontal (máximo, mínimo o de inflexión).
Creciente donde $f'(x)>0$ ; decreciente donde $f'(x)<0$ .
Concavidad: $f''(x)>0$ cóncava hacia arriba (∪); $f''(x)<0$ cóncava hacia abajo (∩).
Punto de inflexión: donde la concavidad cambia; ahí $f''(x)=0$ y cambia de signo.

Hallar y clasificar estacionarios

Resuelve $f'(x)=0$ para las coordenadas $x$ .
La coordenada $y$ sale de $f(x)$ (nunca de la derivada).
Criterio de la 2.ª derivada: $f''>0\Rightarrow$ mínimo; $f''<0\Rightarrow$ máximo; $f''=0\Rightarrow$ no decide.

Ejemplo resuelto

Clasifica los estacionarios de $f(x)=x^3-3x$ .
$f'(x)=3x^2-3=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$ .
$f''(x)=6x$ : en $x=1$ , $f''=6>0$ → mínimo; en $x=-1$ , $f''=-6<0$ → máximo.
Puntos: mínimo $(1,-2)$ y máximo $(-1,2)$ .

📝 Paper 1 — sin calculadora

Resuelve $f'(x)=0$ algebraicamente (factoriza o fórmula cuadrática) y da valores exactos.
Para clasificar sin GDC usa $f''$ o una tabla de signos de $f'$ .
Sabe leer un gráfico dado: identificar dónde $f'=0$ , $f'>0$ , $f'<0$ sin calcular.
Trampa: confundir " $f''=0$ " con "hay inflexión". Debe además cambiar de signo.

Paper 2 — con GDC (CASIO fx-CG50)