Aritmética y álgebra

• Sucesión: lista ordenada $u_n$; serie: suma de sus términos $S_n$.
• Aritmética: suma una diferencia común $d$; geométrica: multiplica una razón común $r$.
• Logaritmo: inverso de la exponencial, $\log_a x=y\iff a^y=x$.
• Demostración: argumento que establece que algo es siempre cierto.

$u_n=u_1+(n-1)d,\qquad u_n=u_1\,r^{\,n-1}$

• Aritmética: $S_n=\dfrac{n}{2}\big(2u_1+(n-1)d\big)=\dfrac{n}{2}(u_1+u_n)$.
• Geométrica: $S_n=\dfrac{u_1(r^n-1)}{r-1}$ ($r\neq1$).
• Infinita: $S_\infty=\dfrac{u_1}{1-r}$, solo si $|r|<1$.

$a^m a^n=a^{m+n},\quad (a^m)^n=a^{mn},\quad a^{-n}=\tfrac{1}{a^n},\quad a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$

• $\log(xy)=\log x+\log y$; $\;\log\tfrac{x}{y}=\log x-\log y$; $\;\log x^n=n\log x$.
• Cambio de base: $\log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a}$; natural $\ln x=\log_e x$.
• Ecuaciones: iguala bases o aplica $\ln$ a ambos lados.

$(a+b)^n=\displaystyle\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}a^{\,n-r}b^{\,r},\qquad \binom{n}{r}=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$

• Los exponentes de $a$ y $b$ suman $n$ en cada término.
• Coeficientes = fila $n$ del triángulo de Pascal.
• Término general para hallar "el de $x^k$": iguala el exponente a $k$.

• Deductiva/algebraica: de un lado (LHS) al otro (RHS), justificando cada paso.
• Par $=2n$, impar $=2n+1$, múltiplo de $k=kn$.
• Contraejemplo: un solo caso que falla refuta un enunciado universal.

$FV=PV\left(1+\dfrac{r}{100\,k}\right)^{k n}$

• Muchos modelos son progresiones geométricas (interés compuesto, depreciación).
• Factor de crecimiento del $r\%$: $\left(1+\tfrac{r}{100}\right)$; de caída: $\left(1-\tfrac{r}{100}\right)$.
• Para hallar el número de periodos, despeja con logaritmos.