Análisis (Cálculo)

• Derivada $f'(x)$: tasa de cambio y pendiente de la tangente.
• Integral: operación inversa de derivar; la definida mide área con signo.
• Estacionario: $f'(x)=0$ (máx, mín o inflexión).
• En AA se derivan trig, $e^x$ y $\ln x$, en radianes.

$\dfrac{d}{dx}x^n=nx^{n-1};\quad (\sin x)'=\cos x;\ (\cos x)'=-\sin x;\ (e^x)'=e^x;\ (\ln x)'=\tfrac1x$

• Cadena: $\big(f(g(x))\big)'=f'(g)\,g'$.
• Producto: $u'v+uv'$; cociente: $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.

$y-f(a)=f'(a)\,(x-a)$

• Pendiente de la tangente $=f'(a)$; de la normal $=-\dfrac{1}{f'(a)}$.
• El punto de contacto es $(a,f(a))$.

• Creciente si $f'>0$, decreciente si $f'<0$.
• Clasificar: $f''>0$ mínimo, $f''<0$ máximo.
• Inflexión donde $f''=0$ y cambia de signo; concavidad = signo de $f''$.

• Escribe la cantidad $Q$ y usa la restricción para dejarla de una variable.
• Resuelve $Q'(x)=0$ y verifica con $Q''$.
• Responde con unidades y descarta soluciones sin sentido.

$\displaystyle\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1),\qquad \int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$

• $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$; $\int e^x\,dx=e^x+C$.
• Sustitución $f(ax+b)$: integra y divide entre $a$; halla $C$ con un punto.

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

• Área bajo el eje: usa $|f|$ o parte por las raíces.
• Área entre curvas: $\int_a^b(\text{arriba}-\text{abajo})\,dx$ entre sus cortes.

$v=\dfrac{ds}{dt},\quad a=\dfrac{dv}{dt},\qquad s=\int v\,dt$

• Reposo: $v=0$; velocidad extrema: $a=0$.
• Desplazamiento $\int v\,dt$; distancia total $\int|v|\,dt$.