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El círculo y los radianes

Matemáticas: Análisis y Enfoques

Conceptos clave

Radián: ángulo que abarca un arco igual al radio; $2\pi$ rad $=360^\circ$ .
Círculo unidad: radio 1 centrado en el origen; un punto es $(\cos\theta,\sin\theta)$ .
El ángulo se mide desde el eje $x$ positivo, en sentido antihorario.
En AA, la trigonometría de funciones y círculo usa radianes.

Convertir grados y radianes

Grados → radianes: multiplica por $\dfrac{\pi}{180}$ .
Radianes → grados: multiplica por $\dfrac{180}{\pi}$ .
Referencias: $180^\circ=\pi$ , $90^\circ=\dfrac{\pi}{2}$ , $60^\circ=\dfrac{\pi}{3}$ , $s=r\theta$ , $30^\circ=\dfrac{\pi}{6}$ .

Arco y sector

Longitud de arco: $s=r\theta$ (con $\theta$ en radianes).
Área de sector: $A=\tfrac12 r^2\theta$ (con $\theta$ en radianes).
Si el ángulo viene en grados, conviértelo a radianes antes.

El círculo unidad

Coordenadas: $x=\cos\theta$ , $y=\sin\theta$ ; $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ .
Identidad básica: $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ .
Signos por cuadrante (regla ASTC): todo, seno, tangente, coseno positivos.

Ejemplo resuelto

Sector de radio 6 y ángulo $\dfrac{\pi}{3}$ . Halla el área.
$A=\tfrac12 r^2\theta=\tfrac12(6)^2\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ .
$=\tfrac12(36)\dfrac{\pi}{3}=18\cdot\dfrac{\pi}{3}$ .
$A=6\pi$ .

📝 Paper 1 — sin calculadora

Trabaja en radianes; deja las respuestas en términos de $\pi$ (exactas).
Aplica $s=r\theta$ y $A=\tfrac12 r^2\theta$ solo con $\theta$ en radianes.
Memoriza los ángulos especiales y sus $\sin/\cos$ exactos del círculo unidad.
Trampa: usar grados en las fórmulas de arco/sector (deben ir en radianes).

Paper 2 — con GDC (CASIO fx-CG50)

Pon la calculadora en radianes: .

SHIFT›MENU (SET UP)›Angle›Rad

Evalúa sin/cos/tan de ángulos en radianes directamente.

Calcula arco y sector sustituyendo en ; usa la tecla π.

Run-Matrix

Verifica que el modo de ángulo sea el correcto antes de calcular.