Composición y función inversa

Matemáticas: Análisis y Enfoques

Conceptos clave

Composición $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ : aplica $g$ y luego $f$ (de dentro hacia fuera).
Función inversa $f^{-1}$ : "deshace" $f$ ; si $f(a)=b$ entonces $f^{-1}(b)=a$ .
$f^{-1}$ existe solo si $f$ es uno a uno (inyectiva): pasa la prueba de la recta horizontal.
Ojo: $f^{-1}$ es la inversa, no $\dfrac{1}{f}$ .

$(f\circ g)(x)=f(g(x))$ : sustituye $g(x)$ dentro de $f$ .
El orden importa: en general $(f\circ g)(x)\neq (g\circ f)(x)$ .
Dominio de $f\circ g$ : los $x$ del dominio de $g$ cuyo $g(x)$ está en el dominio de $f$ .

Compón de dentro hacia fuera: primero $g(x)$ , luego sustituye en $f$ ; cuida el orden.
Inversa: $y=f(x)$ → intercambia $x\leftrightarrow y$ → despeja; deja la expresión exacta.
Recuerda que dominio y rango se intercambian entre $f$ y $f^{-1}$ .
Trampa: leer $f^{-1}$ como $\dfrac{1}{f}$ , o componer en el orden equivocado.

Comprueba una inversa: grafica f, f⁻¹ y la recta y = x; deben ser simétricas: .

MENU 5 (Graph)

Evaluar una composición en un punto: usa la tabla con Y1 = g, Y2 = f(Y1).

MENU 7 (Table)

Resolver f(x) = valor (para preimágenes): contra Y = valor.

G-Solv›ISECT

La GDC verifica; el despeje algebraico de f⁻¹ se hace a mano.