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Demostraciones

Matemáticas: Análisis y Enfoques

Conceptos clave

Demostración: argumento lógico que establece que un enunciado es siempre verdadero.
Igualdad ( $=$ ): cierta para algunos valores; identidad ( $\equiv$ ): cierta para todos.
Demostración por deducción: parte de hechos conocidos y avanza paso a paso.
Contraejemplo: un solo caso que falla basta para refutar un enunciado.

Demostración algebraica (LHS → RHS)

Empieza por un lado (normalmente el izquierdo) y transfórmalo hasta llegar al otro.
Justifica cada paso; no trabajes los dos lados a la vez ni asumas lo que quieres probar.
Termina cuando el lado que manipulas es idéntico al lado objetivo.

Escribir números generales

Par: $2n$ ; impar: $2n+1$ (con $n$ entero).
Enteros consecutivos: $n,\ n+1,\ n+2$ .
Múltiplo de $n=1$ : $kn$ .
Usar estas formas convierte "todos los pares…" en álgebra manejable.

Refutar con un contraejemplo

Para tumbar "para todo $x$ , $P(x)$ ", basta un $x$ que lo incumpla.
Ejemplo: " $n^2>n$ para todo entero" es falso: $n=1$ da $1>1$ , falso.
Un contraejemplo no "demuestra lo contrario", solo refuta el enunciado universal.

Ejemplo resuelto

Demuestra que la suma de dos impares es par.
Sean los impares $2a+1$ y $2b+1$ .
Suma: $(2a+1)+(2b+1)=2a+2b+2$ .
$=2(a+b+1)$ , que es múltiplo de 2 ⟹ par. ∎

📝 Paper 1 — sin calculadora

Estructura clave: define las variables generales, opera, y concluye ("por tanto… ∎").
Demostración algebraica = un solo lado hasta el otro; nunca asumas la tesis.
Para refutar, da un contraejemplo numérico explícito.
Trampa: probar con ejemplos NO demuestra el caso general (solo un contraejemplo refuta).

Paper 2 — con GDC (CASIO fx-CG50)

Las demostraciones son argumentos escritos: la GDC no las hace.

Úsala solo para buscar un contraejemplo: tabula P(x) en y detecta un fallo.

MENU 7 (Table)

Verifica numéricamente una identidad en varios valores antes de probarla a mano.

El crédito viene del razonamiento escrito, no de la pantalla.