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Identidades y ecuaciones trigonométricas

Matemáticas: Análisis y Enfoques

Conceptos clave

Identidad trigonométrica: igualdad cierta para todo ángulo.
Sirven para simplificar expresiones y resolver ecuaciones.
Las ecuaciones trigonométricas suelen tener varias soluciones en un intervalo.
En AA se trabaja en radianes.

Identidades básicas

Pitagórica: $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ .
Cociente: $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ .
De la pitagórica: $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ y viceversa.

Ángulo doble

$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ .
$\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=1-2\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1$ .
Útiles para reducir una ecuación a una sola función trigonométrica.

Resolver ecuaciones trigonométricas

Despeja la razón: $\sin\theta=k$ (con $-1\le k\le 1$ ).
Halla la solución base con la inversa; usa simetría/periodo para las demás.
Reescribe con identidades si aparecen $\sin$ y $\cos$ juntos, o factoriza como cuadrática en $\sin\theta$ .
Da todas las soluciones dentro del intervalo pedido.

Ejemplo resuelto

Resuelve $2\sin\theta=1$ para $0\le\theta\le 2\pi$ .
$\sin\theta=\dfrac12$ .
Solución base: $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ .
Por simetría: $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ y $\theta=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$ .

📝 Paper 1 — sin calculadora

Reconoce ángulos exactos ( $\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12$ , etc.) y da soluciones exactas en radianes.
Usa la pitagórica y el ángulo doble para dejar una sola función antes de resolver.
Halla todas las soluciones del intervalo con simetría y periodo, no solo la base.
Trampa: perder soluciones (segunda del intervalo) o dividir por $\cos\theta$ (pierdes raíces).

Paper 2 — con GDC (CASIO fx-CG50)

Modo radianes: .

SHIFT›MENU (SET UP)›Angle›Rad

Resuelve gráficamente: grafica cada lado y usa en el intervalo.

SHIFT›F5 (G-Solv)›ISECT

O usa acotando el rango de soluciones.

Run-Matrix›SolveN

Cuenta las intersecciones en el intervalo: la GDC puede dar solo una raíz por defecto.