Integral definida y áreas

Matemáticas: Análisis y Enfoques

Conceptos clave

Integral definida $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ : número que mide el área con signo entre la curva y el eje $x$ en $[a,b]$ .
Por encima del eje aporta $+$ ; por debajo aporta $-$ .
Teorema fundamental: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ , con $F'=f$ .
En una integral definida no se escribe $+C$ (se cancela al restar).

Si la región queda bajo el eje, la integral sale negativa: el área es su valor absoluto.
Si la curva cruza el eje en $[a,b]$ , divide en tramos por las raíces y suma las áreas (en valor absoluto).
Área $=\displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx$ .

Entre $y=f(x)$ (arriba) y $y=g(x)$ (abajo): $\displaystyle\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx$ .
Los límites $a,b$ son los puntos de corte: resuelve $f(x)=g(x)$ .
Siempre "la de arriba menos la de abajo"; si dudas, un valor de prueba lo aclara.

Halla la primitiva a mano y evalúa $F(b)-F(a)$ ; deja el resultado exacto (fracción).
Si la región está bajo el eje, la integral es negativa: el área es positiva (valor absoluto).
Para área entre curvas, primero los cortes resolviendo $f(x)=g(x)$ algebraicamente.
Trabaja en radianes con $\sin/\cos$ ; cuida el signo de $\int\sin$ .

Integral definida numérica: , marca los límites.

MENU 5 (Graph)›DRAW›SHIFT›F5 (G-Solv)›F6 (▷)›∫dx

O en , escribe la integral y sus límites a, b.

Run-Matrix›OPTN›CALC›∫dx

Área bajo el eje: integra |f(x)| o parte por las raíces; la ∫ de la GDC da área con signo.

Área entre curvas: de (f − g) tras hallar los cortes con .

∫dx

G-Solv›ISECT