Optimización

Matemáticas: Análisis y Enfoques

Conceptos clave

Optimizar: hallar el máximo o mínimo de una cantidad (área, volumen, costo, distancia…).
Función objetivo $Q$ : la cantidad a optimizar, escrita en función de una sola variable.
Restricción: condición extra (perímetro, volumen fijo…) que relaciona variables y permite eliminar una.
El óptimo está en un punto estacionario: $Q'(x)=0$ .

Nombra la cantidad a optimizar $Q$ y dibuja la situación.
Escríbela con las variables del dibujo (p. ej. $Q=x\,y$ ).
Usa la restricción para despejar una variable y sustituir: deja $Q(x)$ de una sola variable.
Deriva, iguala a cero, resuelve y verifica que sea máx./mín.

Rectángulo: área $A=x\,y$ , perímetro $P=2x+2y$ .
Caja base cuadrada $x$ , altura $h$ : volumen $V=x^2h$ , superficie $S=x^2+4xh$ .
Cilindro: volumen $V=\pi r^2h$ , superficie total $S=2\pi r^2+2\pi rh$ .
Distancia: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ (a veces se optimiza $d^2$ , más simple).

Problema: con $60$ m de valla se cerca un corral rectangular apoyado en una pared (ese lado no lleva valla). Halla el área máxima.
Lados perpendiculares a la pared $x$ , lado paralelo $y$ : valla $2x+y=60\Rightarrow y=60-2x$ .
Objetivo: $A=x\,y=x(60-2x)=60x-2x^2$ .
$A'=60-4x=0\Rightarrow x=15$ , y $y=30$ .
$A''=-4<0$ : máximo. Área máxima $A=15\times 30=450\ \text{m}^2$ .

Todo el planteo y la derivación son a mano: nombra variables, escribe $Q$ , sustituye la restricción.
Resuelve $Q'(x)=0$ algebraicamente y confirma con $Q''$ ; da el resultado exacto.
Muestra el modelo aunque no termines: hay marcas por plantear $Q$ y por derivar.
Trampa: optimizar dos variables. Usa SIEMPRE la restricción para dejar UNA sola.

Grafica Q(x): .

MENU 5 (Graph)›Y1›F6 (DRAW)

Máximo/mínimo directo: o (evita derivar si el problema lo permite).

SHIFT›F5 (G-Solv)›MAX

MIN

Resolver Q′(x) = 0: , o .

Run-Matrix›SolveN

MENU A (Equation)›Solver

Aún en P2, plantea la función objetivo a mano; la GDC solo resuelve u optimiza el modelo.

Conceptos clave

Optimizar: hallar el máximo o mínimo de una cantidad (área, volumen, costo, distancia…).
Función objetivo $Q$ : la cantidad a optimizar, escrita en función de una sola variable.
Restricción: condición extra (perímetro, volumen fijo…) que relaciona variables y permite eliminar una.
El óptimo está en un punto estacionario: $Q'(x)=0$ .

Verificar máximo o mínimo

Fórmulas útiles para modelar

Rectángulo: área $A=x\,y$ , perímetro $P=2x+2y$ .
Caja base cuadrada $x$ , altura $h$ : volumen $V=x^2h$ , superficie $S=x^2+4xh$ .
Cilindro: volumen $V=\pi r^2h$ , superficie total $S=2\pi r^2+2\pi rh$ .
Distancia: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ (a veces se optimiza $d^2$ , más simple).

Ejemplo resuelto

Problema: con $60$ m de valla se cerca un corral rectangular apoyado en una pared (ese lado no lleva valla). Halla el área máxima.
Lados perpendiculares a la pared $x$ , lado paralelo $y$ : valla $2x+y=60\Rightarrow y=60-2x$ .
Objetivo: $A=x\,y=x(60-2x)=60x-2x^2$ .
$A'=60-4x=0\Rightarrow x=15$ , y $y=30$ .
$A''=-4<0$ : máximo. Área máxima $A=15\times 30=450\ \text{m}^2$ .

📝 Paper 1 — sin calculadora

Todo el planteo y la derivación son a mano: nombra variables, escribe $Q$ , sustituye la restricción.
Resuelve $Q'(x)=0$ algebraicamente y confirma con $Q''$ ; da el resultado exacto.
Muestra el modelo aunque no termines: hay marcas por plantear $Q$ y por derivar.
Trampa: optimizar dos variables. Usa SIEMPRE la restricción para dejar UNA sola.

Paper 2 — con GDC (CASIO fx-CG50)