Reglas de derivación

Matemáticas: Análisis y Enfoques

Conceptos clave

Derivada $f'(x)$ : mide la tasa de cambio instantánea; geométricamente, la pendiente de la recta tangente.
Notaciones equivalentes: $f'(x)$ , $\dfrac{dy}{dx}$ , $y'$ .
En AA se derivan polinomios, raíces, potencias negativas, trigonométricas, exponencial y logaritmo — todas en radianes.
Las reglas del producto, cociente y cadena se combinan: identifica primero la estructura de la función.

Potencia: si $y=x^n$ entonces $\dfrac{dy}{dx}=n\,x^{n-1}$ (vale para $n$ negativo o fraccionario).
Constante por función: $\dfrac{d}{dx}\big(k\,f\big)=k\,f'$ .
Suma y diferencia: se deriva término a término.
Reescribe antes de derivar: $\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$ y $\sqrt{x}=x^{1/2}$ .

Para una función compuesta $y=f(g(x))$ : $\dfrac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x)$ .
"Deriva la de fuera dejando lo de dentro, y multiplica por la derivada de dentro".
Ejemplo: $y=(3x^2+1)^5\Rightarrow y'=5(3x^2+1)^4\cdot 6x$ .
También: $\dfrac{d}{dx}\,e^{g(x)}=g'(x)\,e^{g(x)}$ y $\dfrac{d}{dx}\ln(g(x))=\dfrac{g'(x)}{g(x)}$ .

Producto $y=uv$ : $\;y'=u'v+uv'$ .
Cociente $y=\dfrac{u}{v}$ : $\;y'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ .
Nombra $u$ y $v$ , calcula $u'$ y $v'$ aparte, y sustituye con cuidado con los signos.

Piden la derivada exacta: deja $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , no $0.5x^{-0.5}$ en decimal.
Reescribe raíces y fracciones como potencias ANTES de derivar.
Trabaja en radianes: $\sin$ , $\cos$ , $\tan$ se derivan como en la tabla.
Trampa frecuente: olvidar el factor de la cadena (multiplicar por la derivada de dentro).
Muestra los pasos $u,u',v,v'$ : hay marcas por método aunque el número final falle.

Valor de la derivada en un punto: , escribe d/dx( f(x) ) y evalúa en x = a.

MENU 1 (Run-Matrix)›OPTN›F4 (CALC)›d/dx

Comprueba tu derivada a mano: evalúa f′(a) con la fórmula y con ; deben coincidir.

d/dx

Pendiente de la tangente en un punto: .

MENU 5 (Graph)›SHIFT›F4 (Sketch)›Tangent

La GDC da un valor numérico, no la expresión: en P2 basta el número, pero justifica el método.

Conceptos clave

Derivada $f'(x)$ : mide la tasa de cambio instantánea; geométricamente, la pendiente de la recta tangente.
Notaciones equivalentes: $f'(x)$ , $\dfrac{dy}{dx}$ , $y'$ .
En AA se derivan polinomios, raíces, potencias negativas, trigonométricas, exponencial y logaritmo — todas en radianes.
Las reglas del producto, cociente y cadena se combinan: identifica primero la estructura de la función.

Reglas básicas

Potencia: si $y=x^n$ entonces $\dfrac{dy}{dx}=n\,x^{n-1}$ (vale para $n$ negativo o fraccionario).
Constante por función: $\dfrac{d}{dx}\big(k\,f\big)=k\,f'$ .
Suma y diferencia: se deriva término a término.
Reescribe antes de derivar: $\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$ y $\sqrt{x}=x^{1/2}$ .

Derivadas que hay que memorizar

Regla de la cadena

Para una función compuesta $y=f(g(x))$ : $\dfrac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x)$ .
"Deriva la de fuera dejando lo de dentro, y multiplica por la derivada de dentro".
Ejemplo: $y=(3x^2+1)^5\Rightarrow y'=5(3x^2+1)^4\cdot 6x$ .
También: $\dfrac{d}{dx}\,e^{g(x)}=g'(x)\,e^{g(x)}$ y $\dfrac{d}{dx}\ln(g(x))=\dfrac{g'(x)}{g(x)}$ .

Ejemplo resuelto

📝 Paper 1 — sin calculadora

Piden la derivada exacta: deja $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ , no $0.5x^{-0.5}$ en decimal.
Reescribe raíces y fracciones como potencias ANTES de derivar.
Trabaja en radianes: $\sin$ , $\cos$ , $\tan$ se derivan como en la tabla.
Trampa frecuente: olvidar el factor de la cadena (multiplicar por la derivada de dentro).
Muestra los pasos $u,u',v,v'$ : hay marcas por método aunque el número final falle.