Tangentes y normales

Matemáticas: Análisis y Enfoques

Conceptos clave

Recta tangente a $y=f(x)$ en $x=a$ : la recta que "toca" la curva con la misma pendiente que la curva ahí.
La pendiente de la tangente es $m_{\text{tan}}=f'(a)$ .
Recta normal: perpendicular a la tangente en ese mismo punto.
Su pendiente es $m_{\text{nor}}=-\dfrac{1}{f'(a)}$ (opuesta e inversa).

Misma pendiente de partida $f'(a)$ , pero usa $m_{\text{nor}}=-\dfrac{1}{f'(a)}$ .
Recta: $y-f(a)=-\dfrac{1}{f'(a)}\,(x-a)$ .
Si $f'(a)=0$ (tangente horizontal), la normal es vertical: $x=a$ .

Tangente horizontal: donde $f'(x)=0$ (puntos estacionarios).
Rectas paralelas: tienen la misma pendiente; iguala $f'(x)$ al valor de $m$ .
Perpendicular a una recta dada de pendiente $m_0$ : usa $f'(x)=-\dfrac{1}{m_0}$ .
Comprueba que el punto realmente está sobre la curva.

Deja la ecuación en forma exacta $y=mx+c$ con fracciones, no decimales.
Recuerda: normal $=$ opuesta e inversa de la pendiente de la tangente.
Deriva a mano (potencia, cadena, producto según el caso) y trabaja en radianes si hay $\sin/\cos$ .
Error típico: usar $f(a)$ como pendiente. La pendiente es $f'(a)$ ; $f(a)$ es la coordenada $y$ .

Dibuja la curva: .

MENU 5 (Graph)›escribe Y1›F6 (DRAW)

Tangente automática: , escribe x = a y lee la ecuación.

SHIFT›F4 (Sketch)›F2 (Tangent)

Normal automática: .

SHIFT›F4 (Sketch)›F3 (Normal)

Pendiente numérica de apoyo: .

Run-Matrix›OPTN›CALC›d/dx

Verifica: la GDC y tu cálculo a mano deben dar la misma pendiente.

Conceptos clave

Recta tangente a $y=f(x)$ en $x=a$ : la recta que "toca" la curva con la misma pendiente que la curva ahí.
La pendiente de la tangente es $m_{\text{tan}}=f'(a)$ .
Recta normal: perpendicular a la tangente en ese mismo punto.
Su pendiente es $m_{\text{nor}}=-\dfrac{1}{f'(a)}$ (opuesta e inversa).

Cómo hallar la normal

Misma pendiente de partida $f'(a)$ , pero usa $m_{\text{nor}}=-\dfrac{1}{f'(a)}$ .
Recta: $y-f(a)=-\dfrac{1}{f'(a)}\,(x-a)$ .
Si $f'(a)=0$ (tangente horizontal), la normal es vertical: $x=a$ .

Casos y comprobaciones

Tangente horizontal: donde $f'(x)=0$ (puntos estacionarios).
Rectas paralelas: tienen la misma pendiente; iguala $f'(x)$ al valor de $m$ .
Perpendicular a una recta dada de pendiente $m_0$ : usa $f'(x)=-\dfrac{1}{m_0}$ .
Comprueba que el punto realmente está sobre la curva.

Ejemplo resuelto

📝 Paper 1 — sin calculadora

Deja la ecuación en forma exacta $y=mx+c$ con fracciones, no decimales.
Recuerda: normal $=$ opuesta e inversa de la pendiente de la tangente.
Deriva a mano (potencia, cadena, producto según el caso) y trabaja en radianes si hay $\sin/\cos$ .
Error típico: usar $f(a)$ como pendiente. La pendiente es $f'(a)$ ; $f(a)$ es la coordenada $y$ .

Paper 2 — con GDC (CASIO fx-CG50)