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Teorema del binomio

Matemáticas: Análisis y Enfoques

Conceptos clave

Teorema del binomio: desarrolla $(a+b)^n$ como suma de términos con potencias de $a$ y $b$ .
Coeficiente binomial $\binom{n}{r}={}^nC_r=\dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$ : cuenta las combinaciones.
En cada término, los exponentes de $a$ y $b$ suman $n$ .
$n$ debe ser un entero positivo (en AA SL).

El desarrollo

$(a+b)^n=\displaystyle\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}a^{\,n-r}b^{\,r}$ .
El desarrollo tiene $n+1$ términos.
Los coeficientes son la fila $n$ del triángulo de Pascal.
Ejemplo: $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ .

Término general

El término de índice $r$ (empezando en $r=0$ ): $\binom{n}{r}a^{\,n-r}b^{\,r}$ .
Útil para hallar un término sin desarrollar todo.
Para "el término en $x^k$ ", iguala el exponente resultante a $k$ y despeja $r$ .

Triángulo de Pascal

Cada fila empieza y termina en 1; cada número interior = suma de los dos de arriba.
Fila $n=4$ : $1,4,6,4,1$ .
Da los coeficientes de $(a+b)^n$ rápido para $n$ pequeño.

Ejemplo resuelto

Halla el coeficiente de $x^2$ en $(1+x)^5$ .
Término general: $\binom{5}{r}1^{5-r}x^{r}$ , con exponente $r$ .
Para $x^2$ : $r=2$ .
Coeficiente: $\binom{5}{2}=\dfrac{5!}{2!\,3!}=10$ .

📝 Paper 1 — sin calculadora

Usa el triángulo de Pascal para los coeficientes cuando $n$ es pequeño.
Para un término concreto, aplica el término general y despeja $r$ del exponente.
Recuerda: los exponentes de los dos sumandos suman $n$ en cada término.
Cuidado con signos si es $(a-b)^n$ : el término $r$ lleva $(-b)^r$ .

Paper 2 — con GDC (CASIO fx-CG50)

Combinaciones nCr: .

MENU 1 (Run-Matrix)›OPTN›F6 (▷)›PROB›nCr

Factoriales n!: en el mismo menú .

PROB›x!

Suma los términos con si piden evaluar el desarrollo completo.

Σ(

La GDC calcula los nCr grandes; el planteo del término se hace igual.