Transformaciones de funciones

Matemáticas: Análisis y Enfoques

Conceptos clave

Una transformación mueve o deforma el gráfico de $y=f(x)$ de forma predecible.
Tres tipos: traslaciones (deslizar), estiramientos (escalar) y reflexiones (voltear).
Los cambios fuera de $f$ afectan a $y$ (verticales, intuitivos).
Los cambios dentro de $f$ (junto a $x$ ) afectan a $x$ y son al revés de lo que parece.

$f(x)+k$ : sube $k$ (o baja si $k<0$ ) — vertical.
$f(x-h)$ : desplaza $h$ a la derecha (a la izquierda si $h<0$ ) — horizontal, invertido.
Vector de traslación $\begin{pmatrix}h\\k\end{pmatrix}$ combina ambas.

$a\,f(x)$ : estira en vertical por factor $a$ (si $|a|>1$ ) o comprime ( $|a|<1$ ).
$f(bx)$ : escala en horizontal por factor $\dfrac{1}{b}$ (¡inverso!).
Ejemplo: $f(2x)$ comprime a la mitad en horizontal.

$-f(x)$ : refleja en el eje $x$ (voltea arriba-abajo).
$f(-x)$ : refleja en el eje $y$ (voltea izquierda-derecha).
Combina con cuidado: aplica primero lo de dentro (horizontal), luego lo de fuera (vertical).

Recuerda: lo de fuera actúa en $y$ como se ve; lo de dentro (con $x$ ) va al revés.
$f(x-h)$ es a la derecha; $f(bx)$ escala por $\tfrac{1}{b}$ ; $-f(x)$ y $f(-x)$ reflejan en $x$ y en $y$ .
Da imágenes de puntos: transforma $(a,b)$ paso a paso según cada cambio.
Trampa: invertir el sentido de la traslación horizontal o el factor de escala.

Grafica original y transformada juntas para comparar: .

MENU 5 (Graph)›Y1, Y2›F6 (DRAW)

Verifica un vértice/punto tras la transformación con .

SHIFT›F5 (G-Solv)

Usa para confirmar que los puntos se mueven como esperas.

MENU 7 (Table)

La descripción de la transformación se razona a mano; la GDC solo la ilustra.