Trigonometría del triángulo

Matemáticas: Análisis y Enfoques

Conceptos clave

Trigonometría del triángulo rectángulo: relaciona lados y ángulos con seno, coseno y tangente.
SOH-CAH-TOA: $\sin=\dfrac{\text{op}}{\text{hip}}$ , $\cos=\dfrac{\text{ady}}{\text{hip}}$ , $\tan=\dfrac{\text{op}}{\text{ady}}$ .
Para triángulos cualesquiera: regla del seno y del coseno.
En problemas de triángulos los ángulos suelen ir en grados.

Halla un lado o ángulo con SOH-CAH-TOA.
Ángulo desconocido: usa la función inversa ( $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ , $\tan^{-1}$ ).
Teorema de Pitágoras: $a^2+b^2=c^2$ (hipotenusa $c$ ).

Seno: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ (lado y su ángulo opuesto).
Coseno: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ (dos lados y el ángulo entre ellos, o tres lados).
Seno cuando tienes un par lado–ángulo opuesto; coseno para SAS o SSS.

Área de un triángulo: $\text{Área}=\tfrac12\,ab\sin C$ (dos lados y el ángulo comprendido).
Ángulo de elevación/depresión: medido desde la horizontal.
Rumbos (bearings): ángulos medidos desde el norte, en sentido horario, con 3 cifras.

Triángulo rectángulo: cateto opuesto 3, hipotenusa 5. Halla el ángulo $\theta$ .
$\sin\theta=\dfrac{3}{5}=0{,}6$ .
$\theta=\sin^{-1}(0{,}6)$ .
$\theta\approx 36{,}9^\circ$ .

Usa triángulos "bonitos": 3-4-5, y los exactos $30^\circ$ – $60^\circ$ – $90^\circ$ y $45^\circ$ .
Elige la regla adecuada: seno (par lado–ángulo opuesto) o coseno (SAS/SSS).
Deja valores exactos ( $\tfrac{\sqrt3}{2}$ , etc.); área con $\tfrac12 ab\sin C$ .
Trampa: modo de la calculadora aparte, aquí razona con valores exactos y Pitágoras.

Pon la calculadora en grados: .

SHIFT›MENU (SET UP)›Angle›Deg

Evalúa razones e inversas (, , , …) directamente.

sin

cos

tan

SHIFT sin⁻¹

Resuelve la regla del coseno para un ángulo despejando y usando .

cos⁻¹

Guarda resultados intermedios; no redondees hasta el final.

Conceptos clave

Trigonometría del triángulo rectángulo: relaciona lados y ángulos con seno, coseno y tangente.
SOH-CAH-TOA: $\sin=\dfrac{\text{op}}{\text{hip}}$ , $\cos=\dfrac{\text{ady}}{\text{hip}}$ , $\tan=\dfrac{\text{op}}{\text{ady}}$ .
Para triángulos cualesquiera: regla del seno y del coseno.
En problemas de triángulos los ángulos suelen ir en grados.

Regla del seno y del coseno

Seno: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ (lado y su ángulo opuesto).
Coseno: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ (dos lados y el ángulo entre ellos, o tres lados).
Seno cuando tienes un par lado–ángulo opuesto; coseno para SAS o SSS.

📝 Paper 1 — sin calculadora

Usa triángulos "bonitos": 3-4-5, y los exactos $30^\circ$ – $60^\circ$ – $90^\circ$ y $45^\circ$ .
Elige la regla adecuada: seno (par lado–ángulo opuesto) o coseno (SAS/SSS).
Deja valores exactos ( $\tfrac{\sqrt3}{2}$ , etc.); área con $\tfrac12 ab\sin C$ .
Trampa: modo de la calculadora aparte, aquí razona con valores exactos y Pitágoras.