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Variables aleatorias discretas

Matemáticas: Análisis y Enfoques

Conceptos clave

Variable aleatoria discreta $X$ : toma valores numéricos aislados (0, 1, 2, …) con ciertas probabilidades.
Distribución de probabilidad: tabla que asocia cada valor $x$ con $P(X=x)$ .
Todas las probabilidades cumplen $0\le P(X=x)\le 1$ .
Regla clave: $\displaystyle\sum P(X=x)=1$ (las probabilidades suman 1).

La tabla de distribución

Lista los valores posibles de $X$ y su probabilidad.
Usa $\sum P=1$ para hallar una probabilidad desconocida.
A veces $P(X=x)$ viene dada por una fórmula; evalúala en cada $x$ .

Valor esperado (media)

$E(X)=\displaystyle\sum x\,P(X=x)$ .
Es la media a largo plazo de $X$ ; puede no ser un valor alcanzable.
Se interpreta como el "resultado promedio" si se repite el experimento muchas veces.

Juegos "justos"

Un juego es justo si la ganancia esperada es $E(X)=0$ .
Plantea $E(X)$ con las ganancias/pérdidas y sus probabilidades.
Resuelve $E(X)=0$ para hallar una apuesta o premio justo.

Ejemplo resuelto

$X$ : 1, 2, 3 con $P=0{,}2,\ 0{,}5,\ 0{,}3$ . Halla $E(X)$ .
Comprueba: $0{,}2+0{,}5+0{,}3=1$ . ✓
$E(X)=1(0{,}2)+2(0{,}5)+3(0{,}3)$ .
$=0{,}2+1{,}0+0{,}9=2{,}1$ .

📝 Paper 1 — sin calculadora

Usa $\sum P=1$ para despejar la probabilidad que falte antes de nada.
Calcula $E(X)=\sum x\,P(X=x)$ término a término; deja el valor exacto.
Para "juego justo", plantea y resuelve $E(X)=0$ .
Trampa: olvidar un valor de $X$ en la suma, o no verificar que las probabilidades sumen 1.

Paper 2 — con GDC (CASIO fx-CG50)

Mete los valores en List 1 y las probabilidades en List 2: .

MENU 2 (Statistics)

E(X) como media ponderada: con List 1 (datos) y List 2 (frecuencia) → lee x̄.

CALC›1-VAR

Verifica que la suma de List 2 sea 1 antes de calcular.

Útil cuando la tabla es larga; el planteo de E(X) es el mismo.