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Cadenas de Markov

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Una cadena de Markov modela un sistema que pasa entre estados.
El próximo estado depende solo del actual, no del pasado.
Las probabilidades de cambio se guardan en una matriz de transición.
El vector de estado dice la probabilidad de estar en cada estado.
Se estudia en Nivel Superior de AI.

Matriz de transiciónNS

Cada entrada es la probabilidad de pasar de un estado a otro.
Las columnas (o filas, según convención) suman 1.
Es cuadrada: tantas filas/columnas como estados.
Se suele llamar $T$ o $P$ .

Vector de estadoNS

Un vector columna $\mathbf{s}$ con la probabilidad de cada estado.
Sus componentes suman $n$ .
$\mathbf{s}_0$ es el estado inicial.
Multiplicar por $T$ avanza un paso: $\mathbf{s}_1=T\,\mathbf{s}_0$ .

Estado tras n pasosNS

Tras $n$ transiciones: $\mathbf{s}_n=T^{\,n}\,\mathbf{s}_0$ .
Con la GDC se calcula la potencia $T^{n}$ y luego el producto.
Da la distribución de probabilidad después de $n$ pasos.
Sirve para predecir a corto y medio plazo.

Estado estacionarioNS

A largo plazo la distribución se estabiliza: $\mathbf{s}=T\,\mathbf{s}$ .
Es el vector propio asociado al valor propio $1$ (con componentes que suman $1$ ).
Equivale al límite de $T^{\,n}$ cuando $n$ es grande.
No depende del estado inicial (si la cadena es regular).

Con la calculadoraNS

Introduce $T$ como matriz y elévala a la potencia $n$ .
Multiplica $T^{n}$ por el vector inicial.
Para el estacionario: eleva $T$ a una potencia alta y observa a qué tiende.
O resuelve $(T-I)\mathbf{s}=\mathbf{0}$ con la condición de que sumen $1$ .

Ejemplo resueltoNS

Problema: $T=\begin{pmatrix}0{,}8&0{,}3\\0{,}2&0{,}7\end{pmatrix}$ , inicio $\mathbf{s}_0=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ . Halla $\mathbf{s}_1$ .
Un paso: $\mathbf{s}_1=T\,\mathbf{s}_0$ .
$\mathbf{s}_1=\begin{pmatrix}0{,}8\\0{,}2\end{pmatrix}$ (columna 1 de $T$ ).
A largo plazo tiende al estacionario $\begin{pmatrix}0{,}6\\0{,}4\end{pmatrix}$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Introducir la matriz:

menu›Run-Matrix›OPTN›MAT/VCT›Mat

Potencia de la matriz: escribe y

Mat A ^ n

EXE

Producto matriz por vector:

Mat A × Mat B

Estado estacionario: eleva a una potencia grande y observa las columnas

Términos IB

Escribe la matriz de transición: coloca cada probabilidad de cambio.
Halla el estado tras n pasos: calcula $T^{n}\mathbf{s}_0$ .
Halla el estado estacionario/a largo plazo: resuelve $\mathbf{s}=T\mathbf{s}$ .
Interpreta: di qué significa cada probabilidad en el contexto.