Cálculo I

• Derivada $f'(x)$: pendiente de la curva; mide la tasa de cambio instantánea.
• Recta tangente: toca la curva en un punto con la pendiente de la curva ahí.
• Recta normal: perpendicular a la tangente en ese punto.
• Punto estacionario: donde $f'(x)=0$ (posible máximo o mínimo).
• Integral: operación inversa de la derivada; la definida da un área.
• Optimización: usar la derivada para hallar el mayor o menor valor posible.

$f'(x)=\dfrac{dy}{dx}$

• Es la pendiente de la curva $y=f(x)$ en cada punto.
• $f'(a)$ = pendiente de la tangente (y tasa de cambio) en $x=a$.
• Idea de límite: la pendiente de secantes cada vez más cortas tiende a la de la tangente.
• Notación: $f'(x)$, $\dfrac{dy}{dx}$ o $y'$.

$\dfrac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}$

• Constante: $\dfrac{d}{dx}(c)=0$; múltiplo: $\dfrac{d}{dx}(c\,f)=c\,f'$.
• Suma y resta: se deriva término a término.
• Polinomios: aplica la regla de la potencia a cada término.
• Ejemplo: $\dfrac{d}{dx}\big(3x^{2}\big)=6x$.

• Pendiente de la tangente en $x=a$: $m=f'(a)$.
• Recta tangente: $y-f(a)=m\,(x-a)$.
• Pendiente de la normal: $-\dfrac{1}{m}$ (perpendicular a la tangente).
• Recta normal: $y-f(a)=-\dfrac{1}{m}\,(x-a)$.

• Puntos estacionarios: resuelve $f'(x)=0$.
• Creciente donde $f'(x)>0$; decreciente donde $f'(x)<0$.
• Máximo si $f'$ pasa de $+$ a $-$; mínimo si pasa de $-$ a $+$.
• Optimización: escribe la cantidad, deriva, iguala a $0$ y comprueba máx/mín.

$\displaystyle\int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq -1$

• Es la operación inversa de derivar (antiderivada).
• No olvides la constante de integración $+C$.
• Múltiplo y suma: $\int c\,f\,dx=c\!\int f\,dx$; se integra término a término.
• Con una condición (un punto conocido) se halla $C$.

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

• Da el área entre la curva y el eje $x$ de $x=a$ a $x=b$ (con la GDC).
• El área por debajo del eje cuenta como negativa en la integral.
• Regla del trapecio ($n$ franjas de ancho $h$): $A\approx\dfrac{h}{2}\big(y_0+y_n+2(y_1+\cdots+y_{n-1})\big)$.

• Halla / Calcula: obtén el resultado mostrando el procedimiento o el uso de la GDC.
• Escribe / Anota: da el resultado directo, sin desarrollo.
• Dibuja aproximadamente: la curva con máximos, mínimos y cortes rotulados.
• Justifica / Muestra que: respáldalo con la derivada o el signo de $f'$.