Cálculo II

• Regla de la cadena: deriva funciones compuestas (una dentro de otra).
• Segunda derivada $f''(x)$: mide la concavidad y detecta puntos de inflexión.
• Cinemática: la derivada de la posición es la velocidad; la de la velocidad, la aceleración.
• Sustitución: cambio de variable para integrar funciones compuestas.
• Volumen de revolución: gira una región alrededor del eje $x$ y genera un sólido.
• Ecuación diferencial: relaciona una función con su(s) derivada(s).

• $\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$; $\dfrac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$.
• $\dfrac{d}{dx}(\tan x)=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$.
• $\dfrac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}$; $\dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}$.
• Trabaja en radianes al derivar o integrar funciones trigonométricas.

• Cadena: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$.
• Producto: $(uv)'=u'v+uv'$.
• Cociente: $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$.

• $f''(x)>0$: cóncava hacia arriba; $f''(x)<0$: cóncava hacia abajo.
• Punto de inflexión: donde $f''(x)=0$ y cambia de signo.
• Prueba de la 2.ª derivada en un estacionario: $f''>0$ ⇒ mínimo; $f''<0$ ⇒ máximo.

$v=\dfrac{ds}{dt},\qquad a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^{2}s}{dt^{2}}$

• Posición → velocidad → aceleración: se deriva en cada paso.
• Al revés se integra: $s=\int v\,dt$, $v=\int a\,dt$.
• En reposo cuando $v=0$; distancia total $=\displaystyle\int |v|\,dt$.

• Invierte las derivadas: $\int\cos x\,dx=\sin x+C$, $\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$, $\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$.
• Sustitución: con $u=g(x)$, $\displaystyle\int f\big(g(x)\big)g'(x)\,dx=\int f(u)\,du$.
• Evalúa la integral definida con la GDC para el valor numérico.

• Área entre $y=f(x)$ y $y=g(x)$: $\displaystyle\int_a^b (f-g)\,dx$ (la de arriba menos la de abajo).
• Volumen de revolución (eje $x$): $\displaystyle V=\pi\int_a^b y^{2}\,dx$.
• Los límites $a$ y $b$ son los cortes o los valores dados.

• Separación de variables: $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)\Rightarrow\displaystyle\int\dfrac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx$.
• Campo de pendientes: segmentos con la pendiente $\dfrac{dy}{dx}$ en cada punto.
• Método de Euler: $y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n)$, con paso $h$.

• Halla / Calcula: muestra el procedimiento o usa la GDC.
• Muestra que: llega al resultado dado justificando cada paso.
• Deduce / Demuestra: encadena reglas o resultados con rigor.
• Interpreta en contexto: explica qué representa la derivada o la integral.