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Cinemática

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Desplazamiento $s(t)$ : posición respecto de un origen (con signo).
Velocidad $v(t)$ : ritmo de cambio de la posición.
Aceleración $a(t)$ : ritmo de cambio de la velocidad.
Rapidez $=|v|$ ; la distancia recorrida $\ge|\text{desplazamiento}|$ .

Derivar: posición → velocidad → aceleraciónNS

$v=\dfrac{ds}{dt}$ .
$a=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^{2}s}{dt^{2}}$ .
Deriva para "bajar" de posición a velocidad a aceleración.

Integrar: aceleración → velocidad → posiciónNS

$v=\displaystyle\int a\,dt$ .
$s=\displaystyle\int v\,dt$ .
Cada integración añade una constante: fíjala con un dato ( $v(0)$ , $s(0)$ ).

Distancia y desplazamientoNS

Desplazamiento en $[t_1,t_2]$ : $\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v\,dt$ .
Distancia recorrida: $\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v|\,dt$ .
Difieren cuando el móvil cambia de sentido ( $v$ cambia de signo).

Instantes claveNS

En reposo (o cambio de sentido): $v=0$ .
Velocidad máxima o mínima: $a=0$ .
Evalúa $s$ , $v$ , $a$ en el instante pedido sustituyendo $t$ .

Gráficas del movimientoNS

En la gráfica $v$ – $t$ : el área bajo la curva es el desplazamiento.
Pendiente de $s$ – $t$ $=v$ ; pendiente de $v$ – $t$ $=a$ .
Un corte de $v$ – $t$ con el eje $t$ marca un cambio de sentido.
El área por debajo del eje cuenta como desplazamiento negativo.

Ejemplo resueltoNS

Problema: una partícula tiene $v(t)=3t^2-12t$ (m/s), $t\ge0$ . Halla cuándo está en reposo y la distancia recorrida en $[0,4]$ .
Reposo: $3t(t-4)=0\Rightarrow t=0$ o $t=4$ .
En $(0,4)$ es $v\le0$ .
Distancia $=\displaystyle\int_0^4 |v|\,dt=-\int_0^4(3t^2-12t)\,dt$ .
$=-\big[t^3-6t^2\big]_0^4=-(64-96)=32$ m.

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Derivada e integral numéricas:

menu›Run-Matrix›OPTN›CALC›d/dx / ∫dx

Instantes de reposo (v=0):

menu›Graph›G-Solv›ROOT

Para la distancia, parte el intervalo en los ceros de v y suma valores absolutos.

Términos IB

Halla la velocidad/aceleración: deriva.
Halla el desplazamiento/distancia: integra (usa $|v|$ para la distancia).
Muestra que: llega a la expresión dada.
Interpreta: describe el movimiento (sentido, reposo).