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El círculo: arco y sector

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Un sector es la "porción de pizza" entre dos radios y un arco.
El arco es el trozo de circunferencia que limita el sector.
El ángulo central $\theta$ se mide en grados (en Matemáticas AI).
Un segmento es la región entre una cuerda y su arco.

Longitud de arco

$\ell=\dfrac{\theta}{360}\times 2\pi r$ .
Es la fracción $\dfrac{\theta}{360}$ de la circunferencia completa.
$r$ es el radio y $\theta$ el ángulo central en grados.
Con $\theta=360°$ recuperas la circunferencia $2\pi r$ .

Área de un sector

$A=\dfrac{\theta}{360}\times \pi r^{2}$ .
Es la fracción $\dfrac{\theta}{360}$ del área total del círculo.
Mismo esquema que el arco, pero con $\pi r^{2}$ .
Con $\theta=360°$ recuperas el área $\pi r^{2}$ .

Perímetro de un sector

Suma los dos radios y el arco: $P=2r+\ell$ .
No olvides los radios: solo el arco no basta.
Útil en problemas de vallas, bordes o cuerdas.
Comprueba las unidades (metros, cm…).

Área de un segmento

Segmento = área del sector menos el triángulo.
El triángulo tiene área $\dfrac{1}{2}r^{2}\sin\theta$ .
Así: $A_{\text{segmento}}=\dfrac{\theta}{360}\pi r^{2}-\dfrac{1}{2}r^{2}\sin\theta$ .
Mantén la GDC en modo grados para el seno.

Hallar el ángulo o el radio

Si conoces el arco o el área, despeja $\theta$ o $r$ .
Del arco: $\theta=\dfrac{\ell}{2\pi r}\times 360$ .
Del área: $r=\sqrt{\dfrac{360\,A}{\pi\,\theta}}$ .
Sustituye con cuidado y despeja paso a paso.

Ejemplo resuelto

Problema: un sector tiene radio $r=6$ cm y ángulo $\theta=50°$ . Halla el arco y el área.
Arco: $\ell=\dfrac{50}{360}\times 2\pi(6)=\dfrac{50}{360}\times 12\pi\approx 5{,}24$ cm.
Área: $A=\dfrac{50}{360}\times \pi(6)^{2}=\dfrac{50}{360}\times 36\pi\approx 15{,}7$ cm².
Perímetro: $P=2(6)+5{,}24\approx 17{,}2$ cm.

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Poner modo grados:

SHIFT›SET UP›Angle›Deg

Constante pi:

SHIFT›EXP (π)

Evaluar la fórmula: y escribe la expresión

menu›Run-Matrix

Seno (para segmentos): tecla con la GDC en grados

sin

Términos IB

Halla la longitud del arco: usa la fracción del ángulo por la circunferencia.
Halla el área del sector: usa la fracción del ángulo por el área del círculo.
Halla el perímetro: suma los dos radios y el arco.
Halla el ángulo/radio: despeja de la fórmula del arco o del área.