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Combinación de variables aleatorias y TCL

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

A veces se transforman o combinan variables aleatorias.
Hay reglas para la media $E(X)$ y la varianza $\text{Var}(X)$ .
La media muestral $\bar{X}$ es a su vez una variable aleatoria.
El teorema central del límite (TCL) dice que $\bar{X}$ es casi normal.
Se estudia en Nivel Superior de AI.

Transformación linealNS

$E(aX+b)=a\,E(X)+b$ .
$\text{Var}(aX+b)=a^{2}\,\text{Var}(X)$ (la constante $b$ no afecta).
La desviación típica se multiplica por $|a|$ .
Sirve para cambiar de unidades o escalar.

Suma de variablesNS

$E(X\pm Y)=E(X)\pm E(Y)$ (siempre).
Si $X$ e $Y$ son independientes: $\text{Var}(X\pm Y)=\text{Var}(X)+\text{Var}(Y)$ .
La varianza se suma incluso al restar.
Para $n$ copias independientes: $E(\sum X)=nE(X)$ , $\text{Var}(\sum X)=n\,\text{Var}(X)$ .

Media muestralNS

$\bar{X}=\dfrac{X_1+X_2+\dots+X_n}{n}$ .
Su media es la de la población: $E(\bar{X})=\mu$ .
Su varianza es menor: $\text{Var}(\bar{X})=\dfrac{\sigma^{2}}{n}$ .
Por eso muestras grandes dan estimaciones más precisas.

Teorema central del límiteNS

Para $n$ grande, $\bar{X}$ sigue aproximadamente una normal.
Vale sea cual sea la distribución de la población.
$\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\,\dfrac{\sigma^{2}}{n}\right)$ .
Cuanto mayor $n$ , mejor la aproximación.

Distribución de la media muestralNS

Se centra en $\mu$ con desviación típica $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ (error estándar).
Con ella se calculan probabilidades sobre $\bar{X}$ usando la normal.
Es la base de los intervalos de confianza y contrastes.
Más muestra → curva más estrecha.

Ejemplo resueltoNS

Problema: población con $\mu=50$ , $\sigma=12$ . Se toma $n=36$ . Halla $E(\bar{X})$ y $\text{Var}(\bar{X})$ .
Media: $E(\bar{X})=\mu=50$ .
Varianza: $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{12}{6}=2$ .
Error estándar: $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{12}{6}=2$ ; por el TCL, $\bar{X}\sim N(50,\,4)$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Operaciones con medias y varianzas:

menu›Run-Matrix

Probabilidades sobre la media muestral: (con σ/√n)

Statistics›DIST›NORM›Ncd

Raíz cuadrada para el error estándar: tecla

√

Comprobar cálculos de E y Var:

Run-Matrix

Términos IB

Halla E(aX + b) / Var(aX + b): aplica las reglas lineales.
Halla la media y la varianza de X̄: usa $\mu$ y $\dfrac{\sigma^{2}}{n}$ .
Aplica el TCL: modela $\bar{X}$ como normal si $n$ es grande.
Halla una probabilidad sobre X̄: usa la normal con error estándar $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ .