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Concepto de función

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Una función asigna a cada entrada $x$ una sola salida $y=f(x)$ .
El dominio son las entradas permitidas; el rango (o recorrido), las salidas posibles.
$f(x)$ es la imagen de $x$ ; evaluar es sustituir un valor.
La función inversa $f^{-1}$ deshace lo que hace $f$ .
La composición aplica una función al resultado de otra.

Dominio y rango

Dominio: todos los $x$ para los que $f(x)$ existe.
Restricciones típicas: denominador $\neq0$ y radicando $\ge0$ .
Rango: el conjunto de valores de $y$ que la función alcanza.
Con la GDC: mira la gráfica para leer dominio y rango.

Notación e imagen

$f(x)$ se lee " $f$ de $x$ "; es la salida para esa entrada.
Evaluar: $f(3)$ = sustituir $x=3$ en la regla.
Resolver $f(x)=k$ = hallar las $x$ cuya imagen es $k$ .
$(a,\,f(a))$ es un punto de la gráfica.

Función inversa

$f^{-1}$ intercambia entradas y salidas: si $f(a)=b$ , entonces $f^{-1}(b)=a$ .
Para hallarla: escribe $y=f(x)$ , despeja $x$ y cambia los nombres.
Su gráfica es la de $f$ reflejada en la recta $y=x$ .
Dominio y rango se intercambian entre $f$ y $f^{-1}$ .

Función compuesta

$(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)$ : primero $g$ , luego $f$ .
El orden importa: en general $(f\circ g)\neq(g\circ f)$ .
El resultado de $g$ debe estar en el dominio de $f$ .
$f\big(f^{-1}(x)\big)=x$ y $f^{-1}\big(f(x)\big)=x$ .

Leer una gráfica

Prueba de la recta vertical: si una vertical corta la gráfica una sola vez, es función.
Cortes con los ejes: con $y$ en $x=0$ ; con $x$ donde $y=0$ (ceros).
Asíntota: recta a la que la curva se acerca sin tocar.
Crecimiento y decrecimiento: por dónde sube o baja la gráfica.

Ejemplo resuelto

Problema: si $f(x)=2x+1$ y $g(x)=x^{2}$ , halla $(f\circ g)(3)$ y $f^{-1}(x)$ .
$(f\circ g)(3)=f\big(g(3)\big)=f(9)=2(9)+1=19$ .
Inversa: $y=2x+1\Rightarrow x=\dfrac{y-1}{2}$ .
Por tanto $f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Graficar y leer dominio/rango:

menu›Graph›escribe Y1›DRAW

Evaluar f(x) en un valor:

Graph›G-Solv›Y-CAL

Cortes con los ejes:

Graph›G-Solv›ROOT / Y-ICPT

Resolver f(x)=k: (o intersección con la GDC)

menu›Equation›Solver

Términos IB

Halla f(a): sustituye el valor y calcula.
Halla la función inversa: despeja $x$ y renombra.
Escribe el dominio/rango: da el conjunto de $x$ (o de $y$ ).
Halla (f∘g)(x): sustituye $g(x)$ dentro de $f$ .