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Derivación avanzada

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Amplía la derivación a funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
Cadena, producto y cociente para funciones combinadas.
Segunda derivada: concavidad y puntos de inflexión.
Trabaja en radianes al derivar funciones trigonométricas.

Derivadas de funciones estándarNS

$\dfrac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$ ; $\dfrac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$ .
$\dfrac{d}{dx}(\tan x)=\dfrac{1}{\cos^{2}x}$ .
$\dfrac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}$ .
$\dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}$ .

Regla de la cadenaNS

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ .
Para $y=f\big(g(x)\big)$ : $y'=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)$ .
"Deriva la de fuera por la de dentro": $\dfrac{d}{dx}\sin(3x)=3\cos(3x)$ .

Reglas del producto y del cocienteNS

Producto: $(uv)'=u'v+uv'$ .
Cociente: $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ .
Identifica $u$ y $v$ antes de aplicar la regla.

Segunda derivada y concavidadNS

$f''(x)>0$ : cóncava hacia arriba; $f''(x)<0$ : hacia abajo.
Punto de inflexión: donde $f''(x)=0$ y cambia de signo.
Prueba en un estacionario: $f''>0\Rightarrow$ mínimo; $f''<0\Rightarrow$ máximo.

Combinar reglasNS

A veces hay que usar la cadena dentro de un producto o un cociente.
Ejemplo: $\dfrac{d}{dx}\big[x\sin(2x)\big]=\sin(2x)+x\cdot2\cos(2x)$ (producto + cadena).
Simplifica y factoriza el resultado al final.
Comprueba el modo radianes antes de evaluar en la GDC.

Ejemplo resueltoNS

Problema: deriva $y=x^{2}e^{x}$ .
Producto con $u=x^{2}$ , $v=e^{x}$ : $u'=2x$ , $v'=e^{x}$ .
$y'=2x\,e^{x}+x^{2}e^{x}$ .
Factoriza: $y'=x\,e^{x}(x+2)$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Derivada en un punto:

menu›Run-Matrix›OPTN›CALC›d/dx

Máximos y mínimos (donde f′=0):

menu›Graph›G-Solv›MAX / MIN

Poner la GDC en radianes:

SHIFT›SET UP›Angle›Radian

Términos IB

Halla $\dfrac{dy}{dx}$ : aplica la regla adecuada.
Muestra que: llega a la derivada dada.
Halla $f''(x)$ : deriva dos veces.
Clasifica el punto: usa el signo de $f''$ .