Cargando…

Distribución normal

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

La distribución normal es una curva con forma de campana simétrica.
Muchos fenómenos naturales la siguen (alturas, errores de medida).
Queda definida por su media $\mu$ y su desviación típica $\sigma$ .
El área total bajo la curva es $1$ (es una probabilidad).
En AI las probabilidades se obtienen con la GDC.

La curva normal

Simétrica respecto de la media $\mu$ (centro y pico).
$\sigma$ mide su anchura: mayor $\sigma$ , más ancha y baja.
La media, la mediana y la moda coinciden en $\mu$ .
Se escribe $X\sim N(\mu,\,\sigma^{2})$ .

Probabilidades (áreas)

$P(a<X<b)$ = área bajo la curva entre $a$ y $b$ .
Con la GDC: Normal CD, introduciendo límites, $\mu$ y $\sigma$ .
Para "mayor que": usa límite superior muy grande (o el complementario).
$P(X>\mu)=0{,}5$ por la simetría.

Valores inversos

Si te dan una probabilidad y piden el valor $x$ : usa Inverse Normal.
Ejemplo: hallar el percentil $90$ (deja el $90\%$ por debajo).
La GDC devuelve la $x$ que corta esa área a la izquierda.
Útil para "nota mínima para el 10% superior".

Regla empírica

Cerca del $68\%$ de los datos está a $\pm1\sigma$ de la media.
Cerca del $95\%$ , a $\pm2\sigma$ .
Cerca del $99{,}7\%$ , a $\pm3\sigma$ .
Sirve para estimar sin calculadora.

Estandarización

El valor $z$ dice a cuántas $\sigma$ está un dato de la media: $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$ .
Permite comparar valores de distribuciones distintas.
$z>0$ por encima de la media; $z<0$ por debajo.
La normal estándar tiene $\mu=0$ y $\sigma=1$ .

Ejemplo resuelto

Problema: $X\sim N(100,\,15^{2})$ . Halla $P(X<115)$ .
Un dato de $115$ está a $z=\dfrac{115-100}{15}=1$ de la media.
Con la GDC (Normal CD, límite superior $115$ ): $P(X<115)\approx0{,}841$ .
Coincide con la regla empírica: $\mu$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Probabilidad (área):

menu›Statistics›DIST›NORM›Ncd

Valor inverso:

Statistics›DIST›NORM›InvN

Introduce Lower, Upper, σ y μ; luego

EXE

Para InvN elige el área (Left/Right/Center) y da la probabilidad

Términos IB

Halla la probabilidad: usa Normal CD con $\mu$ y $\sigma$ .
Halla el valor de x: usa Inverse Normal (InvN).
Halla el porcentaje: multiplica la probabilidad por $100$ .
Estandariza: calcula $z=\dfrac{x-\mu}{\sigma}$ si lo piden.