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Distribución de Poisson

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

La distribución de Poisson cuenta sucesos raros en un intervalo fijo.
Ejemplos: llamadas por hora, defectos por metro, coches por minuto.
Se define con un solo parámetro: la media $m$ .
Es discreta: $X$ toma valores $0, 1, 2, \dots$
Se estudia en Nivel Superior de AI.

Cuándo usar PoissonNS

Los sucesos ocurren de forma independiente.
A una tasa media constante en el intervalo.
Dos sucesos no ocurren exactamente a la vez.
Se cuenta "cuántos" en un tiempo, longitud o área fijos.

Fórmula y parámetroNS

$P(X=x)=\dfrac{e^{-m}\,m^{x}}{x!}$ .
$m$ es la media de sucesos en el intervalo.
Si cambia el tamaño del intervalo, escala $m$ proporcionalmente.
"Al menos uno" = $1-P(X=0)=1-e^{-m}$ .

Cálculos con la calculadoraNS

Probabilidad exacta: Poisson PD ( $P(X=x)$ ).
Probabilidad acumulada: Poisson CD ( $P(X\le x)$ ).
$P(X\ge x)=1-P(X\le x-1)$ .
Introduce $x$ y la media $m$ .

Media y varianzaNS

En Poisson, media y varianza coinciden: $E(X)=\text{Var}(X)=m$ .
La desviación típica es $\sigma=\sqrt{m}$ .
Es un rasgo distintivo de esta distribución.
Sirve para comprobar si unos datos "parecen Poisson".

Suma de variables de PoissonNS

Si $X\sim\text{Po}(m_1)$ e $Y\sim\text{Po}(m_2)$ son independientes…
…entonces $X+Y\sim\text{Po}(m_1+m_2)$ .
Útil al combinar intervalos o fuentes.
Solo vale si son independientes.

Ejemplo resueltoNS

Problema: una centralita recibe $3$ llamadas por minuto de media. ¿ $P(X=5)$ en un minuto?
$X\sim\text{Po}(3)$ ; usa la fórmula o la GDC (Poisson PD).
$P(X=5)=\dfrac{e^{-3}\,3^{5}}{5!}=\dfrac{e^{-3}\cdot243}{120}$ .
$P(X=5)\approx0{,}101$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Probabilidad exacta:

menu›Statistics›DIST›POISN›Ppd

Probabilidad acumulada:

Statistics›DIST›POISN›Pcd

Introduce x y el parámetro λ (la media m)

"Al menos uno": calcula 1 − Pcd(0)

Términos IB

Halla P(X = x): usa Poisson PD o la fórmula.
Halla P(X ≤ x) / P(X ≥ x): usa Poisson CD y el complementario.
Justifica el modelo de Poisson: comprueba independencia y tasa constante.
Combina intervalos: suma las medias.