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Ecuaciones diferenciales

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Ecuación diferencial (ED): relaciona una función $y$ con su derivada $\dfrac{dy}{dx}$ .
Solución: una función $y(x)$ que satisface la ecuación.
Solución general: incluye una constante $C$ ; particular: fija $C$ con un dato.
De primer orden: solo aparece la primera derivada.

Tipos y notaciónNS

Forma típica: $\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$ .
Separable: $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$ (las variables se pueden separar).
El campo de pendientes muestra la familia de soluciones.

Campos de pendientesNS

En cada punto $(x,y)$ se dibuja un segmento con pendiente $\dfrac{dy}{dx}$ .
Las curvas solución siguen la dirección de los segmentos.
Sirve para bosquejar una solución sin resolver la ED.

Separación de variablesNS

Reescribe: $\dfrac{dy}{dx}=g(x)h(y)\Rightarrow\dfrac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx$ .
Integra ambos lados: $\displaystyle\int\dfrac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx$ .
Añade $+C$ y despeja $y$ si es posible.

Condición inicialNS

Sustituye el punto dado $(x_0,y_0)$ tras integrar.
Despeja $C$ para obtener la solución particular.
Revisa el dominio (evita divisiones por cero).

Comprobar y modelarNS

Para verificar que $y=\varphi(x)$ es solución: deriva y sustituye en la ED.
Crecimiento/decaimiento: $\dfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=y_0e^{kt}$ .
Enfriamiento de Newton: $\dfrac{dT}{dt}=-k(T-T_{\text{amb}})$ .
Identifica la variable independiente (a menudo el tiempo $t$ ).

Ejemplo resueltoNS

Problema: resuelve $\dfrac{dy}{dx}=2xy$ con $y(0)=3$ .
Separa: $\dfrac{1}{y}\,dy=2x\,dx$ .
Integra: $\ln|y|=x^2+C$ .
Exponencia: $y=A\,e^{x^2}$ (con $A=e^{C}$ ).
Condición: $3=A\,e^{0}\Rightarrow A=3$ , así $y=3e^{x^2}$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Las ED se resuelven a mano; la GDC ayuda con las integrales.

Integral indefinida/numérica:

menu›Run-Matrix›OPTN›CALC›∫dx

Graficar la solución:

menu›Graph›escribe Y1›DRAW

Términos IB

Resuelve la ED: separa variables e integra.
Halla la solución particular: aplica la condición inicial.
Bosqueja: usa el campo de pendientes.
Muestra que $y=\dots$ es solución: deriva y sustituye en la ecuación.