Ecuaciones diferenciales acopladas

• Tema exclusivo de Nivel Superior (AI HL).
• Sistema acoplado: dos variables $x,y$ que cambian en el tiempo $t$ dependiendo una de la otra.
• Punto de equilibrio: donde $\dot{x}=0$ y $\dot{y}=0$; en un sistema lineal con $\det(M)\neq0$ es el origen $(0;0)$.
• Valores propios $\lambda$: escalares que deciden la estabilidad y el tipo de retrato.
• Vectores propios $\mathbf{v}$: direcciones invariantes (rectas que las trayectorias no cruzan).
• Retrato de fase: dibujo de las trayectorias en el plano $(x,y)$.

$$\frac{dx}{dt}=ax+by,\qquad \frac{dy}{dt}=cx+dy$$

$$\dot{\mathbf{x}}=M\mathbf{x},\qquad M=\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$$

• Traza: $\operatorname{tr}(M)=a+d$.
• Determinante: $\det(M)=ad-bc$.

$$M\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$$

• Ecuación característica: $\det(M-\lambda I)=0$.
• Da la cuadrática $\lambda^{2}-\operatorname{tr}(M)\,\lambda+\det(M)=0$.
• Cada vector propio se halla resolviendo $(M-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}$.

• Reales distintos ($\lambda_1\neq\lambda_2$): $\mathbf{x}=c_1\mathbf{v_1}e^{\lambda_1 t}+c_2\mathbf{v_2}e^{\lambda_2 t}$.
• Complejos ($\lambda=\alpha\pm\beta i$): $\mathbf{x}=e^{\alpha t}\big(\mathbf{p}\cos\beta t+\mathbf{q}\sin\beta t\big)$.
• En el caso complejo: $\alpha$ controla la amplitud (crece/decae) y $\beta$ la frecuencia de giro.
• Las constantes $c_1,c_2$ se fijan con la condición inicial $\mathbf{x}(0)$.

• Reales de signos opuestos ($\lambda_1\lambda_2<0$): punto de silla (siempre inestable).
• Reales del mismo signo: nodo — sumidero si ambos $<0$, fuente si ambos $>0$.
• Complejos ($\alpha\neq0$): foco / espiral.
• Imaginarios puros ($\lambda=\pm\beta i$): centro (órbitas cerradas).

• $\lambda<0$: esa dirección atrae hacia el origen; $\lambda>0$: repele.
• Nodo o foco: estable si $\operatorname{tr}(M)<0$, inestable si $\operatorname{tr}(M)>0$.
• Nodo: cerca del origen las trayectorias son tangentes al vector propio del $\lambda$ dominante (el más cercano a $0$).
• Sentido de la espiral: evalúa $\dot{y}$ en $(1;0)$ — si $\dot{y}>0$ gira antihorario, si $\dot{y}<0$ gira horario.

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{cx+dy}{ax+by}$$

• Si $\dot{x}=0$ (es decir $ax+by=0$), la pendiente es vertical.

• Halla los valores propios: resuelve $\det(M-\lambda I)=0$ (apóyate en la GDC).
• Dibuja aproximadamente el retrato de fase: traza las rectas de los vectores propios y algunas trayectorias con su sentido.
• Describe el comportamiento a largo plazo: usa el signo y el tipo de $\lambda$ (atrae/repele, espiral que crece o decae, órbita cerrada).