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Función cuadrática

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Una función cuadrática tiene gráfica en forma de parábola: $y=ax^{2}+bx+c$ .
El signo de $a$ decide si abre hacia arriba ( $a>0$ ) o hacia abajo ( $a<0$ ).
El vértice es el punto más bajo (mínimo) o más alto (máximo).
El eje de simetría es la vertical que pasa por el vértice.
Las raíces (o ceros) son los cortes con el eje $x$ .

Formas de la función

General: $y=ax^{2}+bx+c$ .
Vértice: $y=a(x-h)^{2}+k$ , con vértice $(h,\,k)$ .
Factorizada: $y=a(x-p)(x-q)$ , con raíces $p$ y $q$ .
Cada forma revela algo: vértice, cortes o coeficientes.

Vértice y eje de simetría

Coordenada $x$ del vértice: $h=-\dfrac{b}{2a}$ .
Coordenada $y$ : $k=f(h)$ (sustituye $h$ en la función).
Eje de simetría: la recta $x=h$ .
$\Delta=b^{2}-4ac$ es el valor máximo o mínimo; $h$ , dónde ocurre.

Raíces (ceros)

Son las soluciones de $ax^{2}+bx+c=0$ .
Con la GDC: usa G-Solv → ROOT (es lo habitual en AI).
Están a la misma distancia del eje de simetría.
Su punto medio da la coordenada $x$ del vértice.

Discriminante

$\Delta=b^{2}-4ac$ dice cuántas raíces reales hay.
$\Delta>0$ : dos raíces; $\Delta=0$ : una (doble); $\Delta<0$ : ninguna.
Útil para saber si la parábola corta el eje $x$ .
El corte con el eje $y$ es siempre $(0,\,c)$ .

Modelar con parábolas

Trayectoria de un proyectil: altura frente a tiempo o distancia.
Área máxima con perímetro fijo (problema de optimización).
El vértice da el valor óptimo (máximo o mínimo).
Interpreta $h$ y $k$ con las unidades del contexto.

Ejemplo resuelto

Problema: para $y=x^{2}-6x+5$ , halla el vértice y las raíces.
Vértice: $h=-\dfrac{-6}{2(1)}=3$ ; $k=3^{2}-6(3)+5=-4$ , así $(3,\,-4)$ .
Raíces: $x^{2}-6x+5=(x-1)(x-5)=0\Rightarrow x=1,\ x=5$ .
Abre hacia arriba ( $a>0$ ): el vértice es un mínimo.

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Graficar la parábola:

menu›Graph›escribe Y1›DRAW

Vértice (mín/máx):

Graph›G-Solv›MIN / MAX

Raíces:

Graph›G-Solv›ROOT

Corte con el eje y:

Graph›G-Solv›Y-ICPT

Términos IB

Halla las coordenadas del vértice: usa $k$ y $k=f(h)$ .
Halla los ceros/raíces: resuelve con la GDC.
Escribe en la forma vértice: identifica $h$ y $k$ .
Halla el valor máximo/mínimo: es la coordenada $k$ del vértice.