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Función cúbica

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Una función cúbica tiene la forma $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ .
Su gráfica puede tener dos giros (un máximo y un mínimo locales) o ninguno.
El signo de $a$ marca el comportamiento en los extremos.
Puede cortar el eje $x$ en 1, 2 o 3 puntos.
En AI se estudia sobre todo con la GDC.

Forma y comportamiento

Si $a>0$ : baja por la izquierda y sube por la derecha.
Si $a<0$ : sube por la izquierda y baja por la derecha.
El término independiente $d$ es el corte con el eje $y$ : $(0,\,d)$ .
Cuanto mayor $y=a(x-p)(x-q)(x-r)$ , más "estirada" verticalmente.

Raíces (ceros)

Son las soluciones de $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ .
Hay al menos una raíz real; como mucho, tres.
Con la GDC: G-Solv → ROOT para hallarlas.
Forma factorizada: $y=a(x-p)(x-q)(x-r)$ con raíces $p,q,r$ .

Máximos y mínimos locales

Un giro (turning point) es un máximo o mínimo local.
Una cúbica tiene 0 o 2 giros.
Con la GDC: G-Solv → MAX y MIN.
Son locales: no son necesariamente el mayor/menor valor global.

Punto de inflexión

Es donde la curva cambia de concavidad.
Toda cúbica tiene exactamente uno.
Está en el centro de simetría de la curva.
Marca el paso de "cóncava hacia abajo" a "hacia arriba" (o al revés).

Modelar con cúbicas

Volúmenes en función de una longitud (suelen ser cúbicos).
Curvas de costo o de crecimiento con un tramo de subida y otro de bajada.
Los giros dan valores óptimos locales.
Interpreta las raíces y los giros con las unidades del problema.

Ejemplo resuelto

Problema: para $y=x^{3}-3x$ , halla las raíces y los giros con la GDC.
Raíces: $x^{3}-3x=x(x^{2}-3)=0\Rightarrow x=0,\ x=\pm\sqrt{3}$ .
Giros (GDC): máximo en $(-1,\,2)$ y mínimo en $(1,\,-2)$ .
Punto de inflexión en el origen $(0,\,0)$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Graficar la cúbica:

menu›Graph›escribe Y1›DRAW

Raíces:

Graph›G-Solv›ROOT

Máximos y mínimos locales:

Graph›G-Solv›MAX / MIN

Corte con el eje y:

Graph›G-Solv›Y-ICPT

Términos IB

Halla los ceros/raíces: usa la GDC.
Halla las coordenadas de los puntos de giro: G-Solv MAX/MIN.
Dibuja la gráfica: marca cortes y giros con sus coordenadas.
Resuelve f(x)=k: intersección con la recta $y=k$ en la GDC.