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Función exponencial

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Una función exponencial tiene la variable en el exponente: $y=a\,b^{x}$ .
Modela crecimiento o decaimiento rápido (interés, población, radiactividad).
Tiene una asíntota horizontal: la curva se acerca a una recta sin tocarla.
Nunca vale cero: se acerca al eje pero no lo cruza.
La base $e\approx2{,}718$ es habitual en modelos continuos.

Forma y parámetros

Forma general: $y=a\,b^{x}+c$ .
$a$ = valor inicial (ajusta la escala); $b$ = factor de cambio por paso.
$c$ desplaza la curva y fija la asíntota $y=c$ .
Con base $e$ : $y=a\,e^{kx}+c$ .

Crecimiento y decaimiento

Crecimiento si $b>1$ (o $k>0$ ): la curva sube cada vez más rápido.
Decaimiento si $0<b<1$ (o $y=a\,b^{x}$ ): baja acercándose a la asíntota.
Factor por periodo: multiplicar por $b$ en cada paso.
$b=1+\dfrac{r}{100}$ relaciona la base con una tasa porcentual.

Asíntota horizontal

Es la recta $y=c$ (en $y=a\,b^{x}$ sin traslación, es $y=0$ ).
La curva se aproxima a ella para $x$ muy grande o muy negativo.
En modelos: suele ser el "nivel de fondo" o valor límite.
Con la GDC: mira la gráfica para identificarla.

Cortes y evaluación

Corte con el eje $y$ : haz $x=0\Rightarrow y=a+c$ .
No siempre corta el eje $x$ (depende de $c$ ).
Evaluar $f(t)$ = sustituir el valor de $x$ .
Compara dos escenarios buscando su intersección con la GDC.

Resolver ecuaciones exponenciales

Para $a\,b^{x}=k$ : aísla la potencia y aplica logaritmos.
$b^{x}=m\Rightarrow x=\dfrac{\ln m}{\ln b}$ .
Alternativa AI: grafica ambos lados y halla la intersección.
Comprueba que la solución tenga sentido en el contexto.

Ejemplo resuelto

Problema: una población es $P=200(1{,}05)^{t}$ (años). ¿Cuándo llega a $400$ ?
Plantea: $200(1{,}05)^{t}=400\Rightarrow(1{,}05)^{t}=2$ .
Logaritmos: $t=\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}05}$ .
$t\approx14{,}2$ años (crecimiento del $5\%$ anual).

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Graficar la exponencial:

menu›Graph›escribe Y1›DRAW

Intersección con y=k:

Graph›G-Solv›ISCT

Evaluar en un valor:

Graph›G-Solv›Y-CAL

Regresión exponencial (datos):

menu›Statistics›CALC›e^x

Términos IB

Halla el valor inicial: evalúa en $x=0$ .
Halla la ecuación de la asíntota: es $y=c$ .
Resuelve para x: usa logaritmos o la intersección en la GDC.
Interpreta el modelo: di qué representan $a$ , la base y la asíntota.