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Función logarítmica y escalas logarítmicas

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

La función logarítmica $y=\log_a x$ es la inversa de la exponencial.
Responde: ¿a qué exponente elevo la base para obtener $x$ ?
Solo está definida para $x>0$ (dominio positivo).
Crece despacio y tiene una asíntota vertical en $x=0$ .
Base $10$ se escribe $\log$ ; base $e$ se escribe $\ln$ .

La log como inversa de la exponencial

$y=\log_a x \iff x=a^{y}$ .
Sus gráficas son reflejos en la recta $y=x$ .
Se deshacen: $a^{\log_a x}=x$ y $\log_a(a^{x})=x$ .
Por eso el log "despeja" la variable de un exponente.

Gráfica, dominio y asíntota

Dominio: $x>0$ ; rango: todos los reales.
Asíntota vertical: la recta $x=0$ (eje $y$ ).
Pasa siempre por el punto $(1,\,0)$ .
Crece sin límite, pero cada vez más despacio.

Resolver ecuaciones con logaritmos

$\log_a x=c \Rightarrow x=a^{c}$ (reescribe como exponencial).
Para una exponencial $b^{x}=m$ : $x=\dfrac{\ln m}{\ln b}$ .
Comprueba: el argumento del logaritmo debe ser positivo.
Alternativa AI: intersección de curvas con la GDC.

Escala logarítmicaNS

Una escala logarítmica representa potencias iguales a distancias iguales.
Comprime datos con rangos enormes (de $1$ a $1\,000\,000$ ) en un eje manejable.
Semilogarítmica: un eje log → una exponencial se ve como recta.
Log-log: ambos ejes log → una potencia se ve como recta.

Aplicaciones de la escalaNS

pH: $\text{pH}=-\log[\text{H}^{+}]$ (acidez).
Escala de Richter: mide terremotos en potencias de 10.
Decibelios: mide la intensidad del sonido.
Cada unidad en la escala equivale a multiplicar por 10.

Ejemplo resuelto

Problema: resuelve $\log_2 x=5$ y evalúa $\log_{10}1000$ .
$\log_2 x=5 \Rightarrow x=2^{5}=32$ .
$\log_{10}1000=\log_{10}10^{3}=3$ .
Comprueba: $2^{5}=32$ y $10^{3}=1000$ . ✓

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Logaritmo en cualquier base: (plantilla logab)

menu›Run-Matrix›log_□(

Graficar la función log:

menu›Graph›escribe Y1›DRAW

Intersección para resolver:

Graph›G-Solv›ISCT

log (base 10) y ln (base e): teclas y

log

ln

Términos IB

Resuelve la ecuación logarítmica: reescribe como exponencial.
Escribe el dominio: recuerda $x>0$ .
Halla la asíntota: es la recta $x=0$ .
Interpreta la escala: cada paso multiplica por la base.