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Función logística

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

La función logística modela un crecimiento que empieza rápido y luego se frena.
Tiene forma de S (curva sigmoide).
Se usa cuando hay un límite (recursos, espacio, saturación de un mercado).
Al principio se parece a una exponencial; al final se aplana.
Se estudia en Nivel Superior de AI.

Forma de la funciónNS

$y=\dfrac{L}{1+C\,e^{-kx}}$ .
$L$ = valor límite (capacidad de carga); $C$ y $k$ ajustan el arranque y la rapidez.
$L$ , $C$ , $k$ son positivos.
Con la GDC se grafica y se leen sus valores clave.

Capacidad de cargaNS

$L$ es la asíntota horizontal superior: el máximo que se puede alcanzar.
La curva se acerca a $y=L$ sin superarlo.
En contexto: población máxima, tope de ventas, saturación.
También hay una asíntota inferior en $y=0$ .

Interpretación de los parámetrosNS

$k$ controla la rapidez del crecimiento (mayor $k$ = sube más de golpe).
$C$ fija el valor inicial: en $x=0$ , $y=\dfrac{L}{1+C}$ .
Cuanto mayor $C$ , más bajo empieza la curva.
Cambiar $L$ sube o baja el techo de la curva.

La curva S y el punto de inflexiónNS

El crecimiento es más veloz en el punto de inflexión.
Ocurre a la mitad de la altura: $y=\dfrac{L}{2}$ .
Antes de él la curva acelera; después, desacelera.
Marca el cambio de concavidad de la S.

Modelar crecimiento limitadoNS

Ideal cuando un recurso o un espacio impone un tope.
Ejemplos: difusión de un rumor, adopción de tecnología, epidemias.
Compara con la exponencial: esta no tiene límite; la logística sí.
Interpreta $L$ , $k$ y el punto de inflexión con las unidades del problema.

Ejemplo resueltoNS

Problema: en $P=\dfrac{500}{1+9e^{-0{,}4t}}$ , halla la población inicial y el límite.
Inicial ( $t=0$ ): $P=\dfrac{500}{1+9}=\dfrac{500}{10}=50$ .
Límite: cuando $t\to\infty$ , $e^{-0{,}4t}\to0$ , así $P\to500$ .
Crecimiento más rápido en $P=\dfrac{500}{2}=250$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Graficar la logística:

menu›Graph›escribe Y1›DRAW

Valor en un instante:

Graph›G-Solv›Y-CAL

Cuándo alcanza un nivel: (con y=k)

Graph›G-Solv›ISCT

Regresión logística (datos):

menu›Statistics›CALC›Logistic

Términos IB

Halla el valor inicial: evalúa en $x=0$ .
Halla la capacidad de carga: es $L$ , la asíntota superior.
Interpreta los parámetros: relaciona $L$ y $k$ con el contexto.
Resuelve para x: usa la intersección con la GDC.