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Funciones trigonométricas

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Las funciones trigonométricas ( $\sin$ , $\cos$ ) son periódicas: se repiten.
Modelan fenómenos ondulatorios: mareas, temperatura, ruedas, sonido.
Forma general: $y=a\sin\big(b(x-c)\big)+d$ .
Cada parámetro controla una característica de la onda.
Comprueba si trabajas en grados o en radianes.

Forma general y parámetros

$y=a\sin\big(b(x-c)\big)+d$ (igual con $\cos$ ).
$a$ = amplitud; $b$ = frecuencia (fija el periodo).
$c$ = desfase horizontal; $d$ = línea media (desplazamiento vertical).
Un cambio $\sin\leftrightarrow\cos$ es un desfase de un cuarto de periodo.

Amplitud y línea media

Amplitud: $|a|=\dfrac{\text{máx}-\text{mín}}{2}$ .
Línea media: $y=d=\dfrac{\text{máx}+\text{mín}}{2}$ .
Máximo $=d+|a|$ ; mínimo $=d-|a|$ .
$a<0$ refleja la onda respecto de la línea media.

Periodo

El periodo es cuánto tarda en repetirse un ciclo.
En grados: $\text{periodo}=\dfrac{360^\circ}{b}$ .
En radianes: $\text{periodo}=\dfrac{2\pi}{b}$ .
Mayor $b$ → oscila más rápido (periodo más corto).

Desfase horizontal

$c$ desplaza la onda a la derecha si $c>0$ , a la izquierda si $c<0$ .
Ayuda a alinear el modelo con el instante inicial de los datos.
Suele elegirse para que un máximo o un mínimo caiga donde toca.
Cuidado con el paréntesis: es $b(x-c)$ , no $bx-c$ .

Modelar ondas

Identifica máx y mín → obtén $a$ y $d$ .
Mide un ciclo completo → obtén el periodo → despeja $b$ .
Ajusta $c$ para que la fase coincida con los datos.
Evalúa o resuelve con la GDC según lo que pidan.

Ejemplo resuelto

Problema: una temperatura oscila entre $10°$ y $22°$ con periodo $24$ h. Modélala.
Línea media: $d=\dfrac{22+10}{2}=16$ ; amplitud: $a=\dfrac{22-10}{2}=6$ .
Periodo $24\Rightarrow b=\dfrac{360^\circ}{24}=15$ .
Modelo: $y=6\sin(15x)+16$ (con $x$ en horas, ajustando $c$ a los datos).

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Elegir grados o radianes:

SHIFT›SET UP›Angle›Degree / Radian

Graficar la onda:

menu›Graph›escribe Y1›DRAW

Máximos, mínimos e intersecciones:

Graph›G-Solv›MAX / MIN / ISCT

Regresión sinusoidal (datos):

menu›Statistics›CALC›Sin

Términos IB

Halla la amplitud / el periodo: usa máx-mín y $360^\circ/b$ .
Escribe el modelo: da $a$ , $b$ , $c$ y $d$ .
Resuelve f(x)=k: intersección con la GDC en el intervalo pedido.
Interpreta: relaciona amplitud, periodo y línea media con el contexto.