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Geometría de cuerpos 3D

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Los cuerpos 3D (prisma, cilindro, cono, pirámide, esfera) tienen volumen y área.
El volumen mide el espacio interior (unidades cúbicas).
El área superficial es la suma de todas sus caras (unidades cuadradas).
Para ángulos y distancias dentro del sólido, se usa un triángulo rectángulo.

Volúmenes

Prisma o cilindro: $V=(\text{área de la base})\times \text{altura}$ .
Cilindro: $V=\pi r^{2} h$ .
Pirámide o cono: $V=\dfrac{1}{3}(\text{base})\times h$ ; cono $=\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h$ .
Esfera: $V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$ .

Áreas superficiales

Cilindro (cerrado): $A=2\pi r^{2}+2\pi r h$ .
Cono: $A=\pi r^{2}+\pi r l$ , con $l$ la generatriz (lado inclinado).
Esfera: $A=4\pi r^{2}$ .
Pirámide: base más las caras triangulares.

Distancias en 3D

La diagonal de una caja $a\times b\times c$ es $\cos$ .
Es Pitágoras aplicado dos veces.
Localiza primero la diagonal de la base y luego súbela a la altura.
Un buen dibujo del triángulo rectángulo lo hace evidente.

Ángulo entre recta y plano

Proyecta la recta sobre el plano y forma un triángulo rectángulo.
Identifica el cateto en el plano, la altura y la propia recta.
Halla el ángulo con $\sin$ , $\cos$ o $\tan$ (SOH-CAH-TOA).
La calculadora, en modo grados.

Sólidos combinados

Un sólido compuesto se descompone en cuerpos conocidos.
Suma (o resta) los volúmenes de cada parte.
Para el área, cuenta solo las superficies exteriores.
Cuidado: las caras que se pegan no cuentan.

Ejemplo resuelto

Problema: un cono tiene radio $r=3$ cm y altura $h=4$ cm. Halla su volumen y su generatriz.
Volumen: $V=\dfrac{1}{3}\pi (3)^{2}(4)=12\pi\approx 37{,}7$ cm³.
Generatriz (Pitágoras): $l=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$ cm.
Área: $A=\pi(3)^{2}+\pi(3)(5)=9\pi+15\pi=24\pi\approx 75{,}4$ cm².

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Evaluar volúmenes/áreas: y escribe la fórmula

menu›Run-Matrix

Constante pi:

SHIFT›EXP (π)

Potencias y raíces: teclas , y

x²

^

√

Ángulos en modo grados:

SHIFT›SET UP›Angle›Deg

Términos IB

Halla el volumen: usa la fórmula del sólido y sustituye los datos.
Halla el área superficial (total): suma todas las caras exteriores.
Halla el ángulo entre la recta y el plano: forma el triángulo rectángulo.
Da la respuesta con 3 cifras significativas: usa el valor exacto de pi hasta el final.