Geometría y Trigonometría II

• Vector: magnitud, dirección y sentido; se representa por sus componentes.
• Módulo $|\mathbf{a}|$: longitud del vector.
• Producto escalar $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$: un número que mide el ángulo entre dos vectores.
• Producto vectorial $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$: un vector perpendicular a ambos; su módulo es un área.
• Vector director: marca la dirección de una recta en el espacio.
• Velocidad como vector: posición que cambia a ritmo constante.

$\mathbf{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix},\qquad |\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}$

• Suma y resta: componente a componente.
• Múltiplo escalar $k\mathbf{a}$: estira ($|k|>1$), comprime o invierte ($k<0$).
• Vector unitario: $\hat{\mathbf{a}}=\dfrac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}$ (módulo $1$, misma dirección).
• Vector entre dos puntos: $\vec{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$ (posición final menos inicial).

$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta$

• Ángulo entre vectores: $\cos\theta=\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|}$.
• Perpendiculares si $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$.
• Es conmutativo: $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}$.
• Además $\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}=|\mathbf{a}|^{2}$.

$|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta$

• $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ es perpendicular a $\mathbf{a}$ y a $\mathbf{b}$.
• Área del paralelogramo que forman: $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$.
• Área del triángulo: $\tfrac{1}{2}\,|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$.
• Paralelos si $\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{0}$.

$\mathbf{r}=\mathbf{a}+\lambda\,\mathbf{b}$

• $\mathbf{a}$: punto de paso; $\mathbf{b}$: vector director; $\lambda\in\mathbb{R}$: parámetro.
• Cada valor de $\lambda$ da un punto de la recta.
• Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son múltiplos.

$\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\,\mathbf{v}$

• $\mathbf{r}_0$: posición inicial; $\mathbf{v}$: velocidad constante; $t$: tiempo.
• Rapidez = módulo de la velocidad: $|\mathbf{v}|$.
• Encuentro de dos móviles: exige misma posición y el mismo $t$.
• Sin un $t$ común ⇒ no chocan, aunque sus trayectorias se crucen.

• Halla / Calcula: obtén el resultado mostrando el procedimiento o el uso de la GDC.
• Expresa como vector columna: da la respuesta en la forma $\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$.
• Demuestra que son perpendiculares: comprueba que el producto escalar es $0$.
• Interpreta en contexto: explica qué representan posición, velocidad o rapidez.