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Integración

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Integrar: operación inversa de derivar; halla una antiderivada.
Integral indefinida: familia de funciones $F(x)+C$ .
Integral definida: un número; el área con signo bajo la curva.
Constante $C$ : se fija con una condición inicial (un punto de la curva).
Área bajo la curva: región entre la gráfica y el eje $x$ en un intervalo.

Integral indefinida

Regla de la potencia: $\displaystyle\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (con $n\neq-1$ ).
Constante: $\displaystyle\int k\,dx=kx+C$ .
Múltiplo: $\displaystyle\int k\,f(x)\,dx=k\!\int f(x)\,dx$ .
La integral de una suma es la suma de las integrales.

Hallar la constante C

Integra para obtener $F(x)+C$ .
Sustituye el punto dado $(x_0,y_0)$ en $F$ .
Despeja $C$ y escribe la función completa.

Integral definida

Teorema fundamental: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ .
Da el área con signo: negativa donde la curva va por debajo del eje $x$ .
Con la GDC se obtiene el valor numérico directo.

Área bajo la curva

Si $f\ge0$ en $[a,b]$ : $A=\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ .
En general: $A=\displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx$ .
Si la curva cruza el eje, separa en tramos y suma los valores absolutos.

Propiedades de la integral definida

$\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx=0$ .
$\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx$ (invertir los límites cambia el signo).
$\displaystyle\int_a^b f\,dx=\int_a^c f\,dx+\int_c^b f\,dx$ (dividir el intervalo).
Linealidad: $\displaystyle\int(f\pm g)\,dx=\int f\,dx\pm\int g\,dx$ .

Ejemplo resuelto

Problema: la pendiente de una curva es $\dfrac{dy}{dx}=3x^2-4x$ y pasa por $(2,5)$ . Halla $y$ .
Integra: $y=\displaystyle\int(3x^2-4x)\,dx=x^3-2x^2+C$ .
Sustituye $(2,5)$ : $5=8-8+C\Rightarrow C=5$ .
Respuesta: $y=x^3-2x^2+5$ .
Comprueba derivando: $\dfrac{dy}{dx}=3x^2-4x$ . ✓

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Integral definida:

menu›Run-Matrix›OPTN›CALC›∫dx

Área bajo la gráfica entre límites:

menu›Graph›G-Solv›∫dx

Tabla de valores de la función:

menu›Table›escribe Y1›TABL

Términos IB

Halla la integral: da la antiderivada $+C$ (indefinida) o el número (definida).
Muestra que: llega a la expresión dada integrando.
Halla el área: plantea la integral y evalúa (con la GDC).
Determina $C$ : usa la condición inicial (el punto dado).