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Integración avanzada

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Amplía la integración a funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
Sustitución: cambio de variable para integrar funciones compuestas.
Aplicaciones: área entre curvas y volúmenes de revolución.
Trabaja en radianes con las funciones trigonométricas.

Integrales de funciones estándarNS

$\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ ; $\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$ .
$\displaystyle\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$ .
$\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$ .
$\displaystyle\int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (con $n\neq-1$ ).

Integración por sustituciónNS

Con $u=g(x)$ : $\displaystyle\int f\big(g(x)\big)g'(x)\,dx=\int f(u)\,du$ .
Elige $u$ de modo que aparezca $du=g'(x)\,dx$ .
En integrales definidas, cambia también los límites a $u$ .

Área entre curvasNS

$A=\displaystyle\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx$ , con $f$ arriba y $g$ abajo.
$a$ y $b$ son los puntos de corte $f=g$ .
Si las curvas se cruzan, separa por tramos.

Volúmenes de revoluciónNS

Giro alrededor del eje $x$ : $V=\pi\displaystyle\int_a^b y^{2}\,dx$ .
Giro alrededor del eje $y$ : $V=\pi\displaystyle\int_c^d x^{2}\,dy$ .
Despeja $y^2$ o $x^2$ de la curva antes de integrar.

Sustitución paso a pasoNS

Elige $u$ = lo de "dentro" (de una potencia, exponencial o función trig).
Ejemplo: $\displaystyle\int 2x\,e^{x^{2}}\,dx$ con $u=x^{2}$ , $du=2x\,dx$ .
Queda $\displaystyle\int e^{u}\,du=e^{u}+C=e^{x^{2}}+C$ .
Comprueba derivando el resultado.

Ejemplo resueltoNS

Problema: halla el área encerrada entre $y=x^2$ y $y=2x$ .
Cortes: $(0,2)$ .
En $(0,2)$ la recta $2x$ va por encima.
$A=\displaystyle\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\Big[x^2-\dfrac{x^3}{3}\Big]_0^2=4-\dfrac{8}{3}=\dfrac{4}{3}$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Integral definida:

menu›Run-Matrix›OPTN›CALC›∫dx

Cortes entre dos curvas:

menu›Graph›G-Solv›INTSECT

Poner la GDC en radianes:

SHIFT›SET UP›Angle›Radian

Términos IB

Halla la integral: integra (con sustitución si hace falta).
Halla el área/volumen: plantea la integral y evalúa.
Muestra que: llega al resultado dado.
Interpreta: explica qué representa el área o el volumen.