Cargando…

La derivada

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Derivada: tasa de cambio instantánea; pendiente de la recta tangente.
Notación: $f'(x)$ o $\dfrac{dy}{dx}$ para la función derivada.
$f'(x)>0$ : la función crece; $f'(x)<0$ : decrece.
Punto estacionario: donde $f'(x)=0$ (tangente horizontal).
Gradiente en un punto $=$ valor de $f'$ ahí.

Notación y significado

$\dfrac{dy}{dx}$ : derivada de $y$ respecto de $x$ .
$f'(a)$ : pendiente de la curva en $x=a$ .
La recta tangente toca la curva con esa pendiente.

Regla de la potencia

$\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\,x^{n-1}$ .
$\dfrac{d}{dx}(k)=0$ (constante).
Ejemplos: $\dfrac{d}{dx}(x^3)=3x^2$ ; $\dfrac{d}{dx}(5x)=5$ .

Reglas básicas

Múltiplo constante: $\dfrac{d}{dx}(k\,f)=k\,f'$ .
Suma/resta: $(f\pm g)'=f'\pm g'$ .
Deriva término a término un polinomio.

Crecimiento y puntos estacionarios

$f'(x)>0$ en un intervalo → creciente; $f'(x)<0$ → decreciente.
$f'(x)=0$ → estacionario (posible máximo o mínimo).
Reescribe antes de derivar: $\dfrac{1}{x}=x^{-1}$ , $\sqrt{x}=x^{1/2}$ .

Tasa de cambio (aplicaciones)

La derivada de una magnitud es su ritmo de cambio.
Si $V(t)$ es un volumen, $\dfrac{dV}{dt}$ es el caudal.
Evalúa $f'(a)$ para la tasa en un instante concreto.

Ejemplo resuelto

Problema: $f(x)=x^3-6x^2+5$ . Halla $f'(x)$ y los puntos estacionarios.
Deriva: $f'(x)=3x^2-12x$ .
Iguala a cero: $3x(x-4)=0\Rightarrow x=0$ o $x=4$ .
Puntos: $(0,5)$ y $(4,-27)$ .
Signo de $f'$ : $+$ antes de $0$ , $-$ entre $0$ y $4$ , $+$ tras $4$ → $(0,5)$ máx, $(4,-27)$ mín.

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Valor de la derivada en un punto:

menu›Run-Matrix›OPTN›CALC›d/dx

Dibujar la tangente:

menu›Graph›SHIFT›Sketch›Tangent

Máximos y mínimos de la gráfica:

menu›Graph›G-Solv›MAX / MIN

Términos IB

Halla $f'(x)$ : deriva la expresión.
Halla la pendiente: evalúa $f'(a)$ .
Muestra que: llega a la derivada dada.
Determina si crece/decrece: estudia el signo de $f'$ .