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Matemática financiera

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Capital / valor presente $PV$ : el dinero de hoy; valor futuro $FV$ : el de mañana.
Tasa de interés $r$ : porcentaje anual que gana (o cuesta) el dinero.
Interés simple: se calcula siempre sobre el capital inicial.
Interés compuesto: se calcula sobre el capital más los intereses ya generados.
Capitalización $k$ : cuántas veces al año se aplica el interés (anual $k=1$ , mensual $k=12$ …).

Interés simple

Interés ganado: $I=\dfrac{PV\cdot r\cdot t}{100}$ , con $t$ en años.
Valor final: $FV=PV+I=PV\!\left(1+\dfrac{r\,t}{100}\right)$ .
Crece de forma lineal: la misma cantidad cada año.

Interés compuesto

Fórmula del cuadernillo IB: $FV=PV\left(1+\dfrac{r}{100\,k}\right)^{k n}$ .
$n$ = número de años; $k$ = capitalizaciones por año; $r$ = tasa anual en %.
Crece de forma exponencial (una progresión geométrica de razón $1+\tfrac{r}{100k}$ ).
Interés total ganado: $FV-PV$ .

Valor presente y valor futuro

Despejando: $PV=\dfrac{FV}{\left(1+\dfrac{r}{100k}\right)^{k n}}$ .
Sirve para saber cuánto invertir hoy para tener un objetivo futuro.
Comparar inversiones = comparar sus $FV$ (o sus $PV$ ) en la misma fecha.

Inflación y depreciación

Depreciación (pierde valor): $FV=PV\left(1-\dfrac{r}{100}\right)^{n}$ .
Inflación: reduce el poder de compra; el valor real baja aunque el nominal suba.
Mismo patrón que el interés compuesto, pero con razón menor que 1.

Préstamos y amortización

Un préstamo se paga en cuotas iguales (pagos periódicos $PMT$ ).
Cada cuota cubre intereses y parte del capital; el saldo baja cada periodo.
Se resuelve con la calculadora financiera (TVM), fijando $PV$ , $r$ , $n$ y despejando $PMT$ .
Una anualidad es lo inverso: aportas $PMT$ periódico para acumular un $FV$ .

Ejemplo resuelto

Problema: inviertes US$2000 al $6\%$ anual capitalizado trimestralmente durante $5$ años. Halla el valor final.
Datos: $PV=2000$ , $r=6$ , $k=4$ , $n=5$ .
$FV=2000\left(1+\dfrac{6}{100\cdot4}\right)^{4\cdot5}=2000(1{,}015)^{20}$ .
$FV\approx2000\times1{,}3469\approx2693{,}70$ , es decir US$2693,70.

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Interés compuesto:

menu›Financial›Compound Interest (CMPD)

Rellena N, I%, PV, PMT, FV, P/Y, C/Y y la incógnita

SOLVE

Signo: el dinero que sale es negativo, el que entra es positivo

Convertir tasas nominal ↔ efectiva:

Financial›Interest Conversion

Términos IB

Halla el valor futuro / final: usa la fórmula de interés compuesto o la TVM.
Calcula el interés ganado: resta $FV-PV$ .
Da tu respuesta a 2 decimales: es dinero, redondea al céntimo.
Determina la cuota: despeja $PMT$ con la calculadora financiera.