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Matrices

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Una matriz es una tabla de números ordenados en filas y columnas.
Su orden es $m\times n$ : $m$ filas por $n$ columnas.
La identidad $I$ actúa como el "1": $AI=IA=A$ .
El determinante mide si una matriz es invertible (si es $\neq0$ ).
Valores propios y vectores propios describen las direcciones que la matriz solo estira.

Operaciones con matricesNS

Suma y resta: solo entre matrices del mismo orden, elemento a elemento.
Producto por escalar: multiplica cada elemento por el número.
Producto de matrices: fila por columna; $(m\times n)(n\times p)=(m\times p)$ .
No es conmutativo: en general $AB\neq BA$ .

Determinante e inversa (2×2)NS

Para $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ : $\det A=ad-bc$ .
Inversa: $A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ .
Existe solo si $\det A\neq0$ (si es $0$ , es singular).
Comprobación: $A\,A^{-1}=I$ .

Resolver sistemas con matricesNS

Escribe el sistema como $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ (coeficientes, incógnitas, términos).
Solución: $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$ (si $A$ es invertible).
Si $\det A=0$ : no hay solución única (ninguna o infinitas).
Con la GDC: introduce $A$ y $\mathbf{b}$ y calcula $A^{-1}\mathbf{b}$ .

Valores y vectores propiosNS

Ecuación característica: $\det(A-\lambda I)=0$ ; sus raíces son los valores propios $\lambda$ .
Para cada $\lambda$ , el vector propio $\mathbf{v}$ cumple $(A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}$ .
Significa $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ : la matriz solo escala a $\mathbf{v}$ .
Aparecen en sistemas dinámicos y en cadenas de Markov.

Diagonalización y potenciasNS

Si $A=PDP^{-1}$ con $D$ diagonal de valores propios y $P$ de vectores propios…
…entonces $A^{n}=P\,D^{n}\,P^{-1}$ (elevar $D$ es elevar la diagonal).
Sirve para hallar el estado a largo plazo sin multiplicar muchas veces.
$P$ debe ser invertible (vectores propios independientes).

Ejemplo resueltoNS

Problema: resuelve $2x+y=5,\;\;x+3y=10$ con matrices.
$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&3\end{pmatrix}$ , $\det A=2\cdot3-1\cdot1=5$ .
$A^{-1}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}3&-1\\-1&2\end{pmatrix}$ .
$\mathbf{x}=A^{-1}\begin{pmatrix}5\\10\end{pmatrix}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}5\\15\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$ , es decir $x=1,\;y=3$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Introducir matrices:

menu›Run-Matrix›OPTN›MAT/VCT›Mat

Determinante:

OPTN›MAT/VCT›Det

Inversa: escribe la matriz y pulsa la tecla

x⁻¹

Valores y vectores propios:

OPTN›MAT/VCT›Eigenvalue / Eigenvector

Términos IB

Halla el producto AB: multiplica fila por columna en ese orden.
Calcula el determinante / la inversa: usa las fórmulas 2×2 o la GDC.
Resuelve el sistema: plantea $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ y halla $A^{-1}\mathbf{b}$ .
Halla los valores propios: resuelve $\det(A-\lambda I)=0$ .