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Mediatrices y diagramas de Voronoi

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Un diagrama de Voronoi divide el plano según el punto (sitio) más cercano.
Cada sitio tiene una celda: la región de puntos más próximos a él.
Los bordes entre celdas son mediatrices entre dos sitios.
Sirve para "vecino más cercano": qué sitio te queda más cerca.

Mediatriz de un segmento

Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio del segmento.
Todos sus puntos equidistan de los dos extremos.
Punto medio de $A(x_1,y_1)$ y $B(x_2,y_2)$ : $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ .
Es el borde entre dos celdas de Voronoi vecinas.

Ecuación de la mediatriz

Pendiente de $AB$ : $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ .
La mediatriz es perpendicular: su pendiente es $-\dfrac{1}{m}$ .
Usa la forma $y-y_0=m_{\perp}(x-x_0)$ con el punto medio $(x_0,y_0)$ .
Si $AB$ es horizontal, la mediatriz es vertical (y viceversa).

Construir el diagrama

Traza la mediatriz entre cada par de sitios cercanos.
Las mediatrices se cortan y encierran cada celda.
Cada celda es un polígono (posiblemente abierto).
Un vértice del diagrama equidista de tres sitios.

Vecino más cercano

Para un punto dado, mira en qué celda cae.
Ese sitio es el más cercano; compara distancias si hay duda.
Distancia entre dos puntos: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$ .
Aplicaciones: antena, hospital o tienda más próxima.

Emplazamiento óptimo

El "sitio más alejado de todos" está en un vértice del diagrama.
Es el centro del mayor círculo vacío (sin sitios dentro).
Modela dónde ubicar algo lejos de todo (p. ej. un vertedero).
Compara las distancias desde los vértices candidatos.

Ejemplo resuelto

Problema: halla la mediatriz entre $A(2,1)$ y $B(6,5)$ .
Punto medio: $\left(\dfrac{2+6}{2},\dfrac{1+5}{2}\right)=(4,3)$ .
Pendiente de $AB$ : $m=\dfrac{5-1}{6-2}=1$ ; perpendicular: $-1$ .
Mediatriz: $y-3=-1(x-4)\Rightarrow y=-x+7$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Distancia entre puntos: y usa con la fórmula

menu›Run-Matrix

√

Punto medio: promedia coordenadas en

Run-Matrix

Dibujar rectas: , escribe cada y

menu›Graph

Y=

DRAW

Intersección de dos rectas:

Graph›G-Solv›INTSECT

Términos IB

Halla la ecuación de la mediatriz: punto medio y pendiente perpendicular.
¿A qué sitio está más cerca?: identifica la celda de Voronoi.
Halla la distancia: usa la fórmula de la distancia entre dos puntos.
Emplazamiento óptimo: busca el vértice del diagrama más alejado de los sitios.