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Métodos numéricos

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Método numérico: aproxima la solución de una ED cuando no hay fórmula exacta.
Método de Euler: avanza en pasos pequeños siguiendo la pendiente.
Parte de una condición inicial $(x_0,y_0)$ .
Da valores aproximados de $y$ en puntos sucesivos.

El método de EulerNS

$\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$ , donde $\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$ .
$x_{n+1}=x_n+h$ .
$h$ es el tamaño de paso (dado, o $h=\dfrac{x_{\text{final}}-x_0}{N}$ ).

Cómo iterarNS

Empieza en $(x_0,y_0)$ .
Calcula la pendiente $x_0$ en cada paso.
Actualiza $y$ con la fórmula y avanza $x$ en $h$ .
Repite hasta llegar al $x$ pedido (ordena en una tabla).

El tamaño de paso hNS

Para ir de $x_0$ a $x_{\text{final}}$ en $N$ pasos: $h=\dfrac{x_{\text{final}}-x_0}{N}$ .
Pasos más pequeños → más iteraciones.
Conserva todas las cifras entre pasos (no redondees pronto).

Precisión y errorNS

Euler avanza "por la tangente", así que acumula error.
Menor $h$ → menor error, pero más cálculos.
El error se acumula paso a paso a lo largo del intervalo.

Organiza los cálculos en tablaNS

Usa columnas: $n$ , $x_n$ , $y_n$ , $f(x_n,y_n)$ , $y_{n+1}$ .
Rellena fila por fila: el $y_{n+1}$ de una fila es el $y_n$ de la siguiente.
Revisa que $x_n$ avance de $h$ en $h$ .
Da el resultado con las cifras que pida el enunciado.

Ejemplo resueltoNS

Problema: $\dfrac{dy}{dx}=x+y$ , con $y(0)=1$ y $h=0{,}1$ . Aproxima $y(0{,}2)$ .
Paso 1: $y_1=1+0{,}1(0+1)=1{,}1$ , con $x_1=0{,}1$ .
Paso 2: $y_2=1{,}1+0{,}1(0{,}1+1{,}1)=1{,}1+0{,}1(1{,}2)=1{,}22$ .
Por tanto $y(0{,}2)\approx1{,}22$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Iterar paso a paso reutilizando el resultado anterior: con la tecla

menu›Run-Matrix

Ans

Recurrencias:

menu›Recursion›define aₙ₊₁›TABL

Guardar los valores en una lista:

menu›Statistics

Términos IB

Usa el método de Euler: aplica $y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n)$ .
Aproxima $y(x)$ : itera hasta ese valor de $x$ .
Explica el efecto de $h$ : menor paso, mayor precisión.
Compara con la solución exacta: si se conoce, calcula el error.