Números y Álgebra II

• Logaritmo: $\log_a b=x \iff a^{x}=b$ (operación inversa de la potencia).
• Sistema de ecuaciones: varias ecuaciones que comparten incógnitas; la solución las satisface todas.
• Número complejo: $z=a+b\,i$ con $i^{2}=-1$; parte real $a$, parte imaginaria $b$. NS
• Matriz: tabla de números; transforma vectores y resuelve sistemas. NS
• Valor propio $\lambda$: factor por el que se estira su vector propio (dirección invariante). NS
• Grafo: vértices unidos por aristas; la matriz de adyacencia lo codifica. NS

• Leyes de potencias: $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$, $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$, $(a^{m})^{n}=a^{mn}$.
• Casos: $a^{0}=1$, $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$, $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$.
• $\log$ es base $10$ y $\ln$ es base $e$; $\log_a b=x\iff a^{x}=b$.
• Despeja el exponente: $a^{x}=b\Rightarrow x=\log_a b$ (con la GDC).
• Leyes de logaritmos: $\log(xy)=\log x+\log y$, $\log\dfrac{x}{y}=\log x-\log y$, $\log x^{n}=n\log x$. NS

• Resuélvelos con la GDC: $2\times2$ lineales en NM; $3\times3$ en NS.
• La solución es el punto donde se cortan las rectas (o los planos).
• Sin corte $\Rightarrow$ sin solución; misma recta o plano $\Rightarrow$ infinitas soluciones.
• Con matrices: $A\mathbf{x}=\mathbf{b}\Rightarrow\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$. NS

$z=a+b\,i,\quad i^{2}=-1$

• Módulo $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$; argumento $\arg z=\theta$.
• Forma polar: $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\,\operatorname{cis}\theta$.
• Forma de Euler: $z=r e^{i\theta}$ (cómoda para multiplicar y potenciar).
• Conjugado $z^{*}=a-b\,i$; además $z\,z^{*}=|z|^{2}$.

• Producto $AB$: definido si las columnas de $A$ igualan las filas de $B$; no es conmutativo.
• Determinante $2\times2$: $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$.
• Inversa $A^{-1}$: existe solo si $\det A\neq0$.
• Valores propios: $\det(A-\lambda I)=0$.
• Vectores propios: $(A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}$.
• Diagonalización $A=PDP^{-1}$ ($D$ diagonal de los $\lambda$): facilita calcular $A^{n}$.

• Matriz de adyacencia $A$: $a_{ij}$ = número de aristas entre los vértices $i$ y $j$.
• Las entradas de $A^{k}$ dan el número de recorridos de longitud $k$ entre vértices.
• Grafo ponderado: cada arista lleva un peso (distancia, costo o tiempo).
• Árbol de expansión mínima: conecta todos los vértices con peso total mínimo (Prim / Kruskal).
• Recorrido euleriano: usa cada arista una vez; hamiltoniano: visita cada vértice una vez.

• Escribe / Anota: da el resultado directo (por ejemplo, de la GDC), sin desarrollo.
• Halla / Calcula: obtén el resultado mostrando el procedimiento o el uso de la GDC.
• Expresa en la forma $a+b\,i$: da el resultado complejo en forma binómica. NS
• Justifica / Demuestra: respáldalo con razones o pasos algebraicos.