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Números complejos

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

La unidad imaginaria cumple $i^{2}=-1$ ; así toda raíz negativa tiene solución.
Un número complejo es $z=a+b\,i$ : parte real $a$ y parte imaginaria $b$ .
Se representa como un punto (o vector) en el plano de Argand.
Su tamaño es el módulo y su dirección es el argumento.
Tres formas de la misma $z$ : binómica, polar y exponencial.

Forma binómica y operacionesNS

Suma y resta: se operan las partes real e imaginaria por separado.
Producto: distribuye y usa $i^{2}=-1$ , p. ej. $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$ .
Conjugado: $z^{*}=a-bi$ (refleja respecto al eje real).
División: multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador.

Módulo, argumento y conjugadoNS

Módulo: $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ (distancia al origen).
Argumento: $\arg z=\theta$ , ángulo con el eje real positivo.
Producto notable: $z\,z^{*}=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}$ .
$|z_1 z_2|=|z_1||z_2|$ y $\arg(z_1z_2)=\arg z_1+\arg z_2$ .

Forma polar y exponencialNS

Polar: $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\operatorname{cis}\theta$ , con $r=|z|$ .
Exponencial (Euler): $z=r\,e^{\,i\theta}$ .
Paso a binómica: $a=r\cos\theta$ , $b=r\sin\theta$ .
Trabaja el argumento en radianes con la GDC en modo complejo.

Producto, cociente y De MoivreNS

Producto: $z_1z_2=r_1r_2\operatorname{cis}(\theta_1+\theta_2)$ .
Cociente: $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1}{r_2}\operatorname{cis}(\theta_1-\theta_2)$ .
De Moivre: $z^{n}=r^{n}\operatorname{cis}(n\theta)$ .
Multiplicar/dividir es fácil en polar; sumar/restar, en binómica.

En el plano de ArgandNS

El eje horizontal es la parte real; el vertical, la imaginaria.
$z$ y su conjugado $z^{*}$ son simétricos respecto al eje real.
Multiplicar por $i$ gira el vector $90^\circ$ en sentido antihorario.
Aplicación IB: fasores en circuitos de corriente alterna (impedancia).

Ejemplo resueltoNS

Problema: expresa $z=1+i$ en forma polar y halla $z^{4}$ .
Módulo: $r=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$ ; argumento: $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ .
Polar: $z=\sqrt{2}\operatorname{cis}\dfrac{\pi}{4}$ .
De Moivre: $z^{4}=(\sqrt{2})^{4}\operatorname{cis}\pi=4(\cos\pi+i\sin\pi)=-4$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Activar complejos:

SHIFT›SET UP›Complex Mode›a+bi

Módulo y argumento:

menu›Run-Matrix›OPTN›COMPLEX›Abs / Arg

Conjugado:

OPTN›COMPLEX›Conjg

Convertir a polar: (ángulo en radianes)

OPTN›COMPLEX›▷r∠θ

Términos IB

Expresa en la forma a+bi: opera y separa parte real e imaginaria.
Halla el módulo y el argumento: usa $|z|$ y $\arg z$ .
Escribe en forma polar/exponencial: da $r$ y $\theta$ .
Usa el teorema de De Moivre: eleva $r$ a la potencia y multiplica el ángulo.