Optimización

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Optimizar: hallar el valor máximo o mínimo de una cantidad (área, volumen, costo, tiempo…).
Función objetivo: la cantidad $Q$ que se quiere maximizar o minimizar, escrita en función de una sola variable.
Restricción: la condición extra (perímetro fijo, volumen dado…) que relaciona las variables y permite eliminar una.
Punto estacionario: donde $f'(x)=0$ ; ahí la recta tangente es horizontal.
Máximo/mínimo local: el punto más alto o más bajo de su entorno; el óptimo suele estar en un estacionario.

Cómo plantear el problema

Identifica la cantidad a optimizar y nómbrala $Q$ .
Escribe $Q$ con las variables del dibujo (por ejemplo $Q=x\,y$ ).
Usa la restricción para despejar una variable y sustituir: deja $Q$ en función de una sola, $Q(x)$ .
Deriva, iguala a cero y resuelve: $Q'(x)=0$ .
Comprueba que sea máximo o mínimo y responde con unidades.

Puntos estacionarios

Se resuelve $f'(x)=0$ para hallar la coordenada $x$ .
La coordenada $y$ se obtiene sustituyendo en $f(x)$ (no en la derivada).
Un problema puede dar varias soluciones: descarta las que no tengan sentido físico (longitud negativa).

Criterio de la primera derivada

Estudia el signo de $f'(x)$ a la izquierda y a la derecha del punto.
$+$ a $-$ (crece y luego decrece): es un máximo.
$-$ a $+$ (decrece y luego crece): es un mínimo.

Criterio de la segunda derivada

Calcula $f''(x)$ en el punto estacionario.
$f''(x)>0$ : la curva es cóncava hacia arriba → mínimo.
$f''(x)<0$ : la curva es cóncava hacia abajo → máximo.
$f''(x)=0$ : no decide; usa el criterio de la primera derivada.

Fórmulas útiles para modelar

Rectángulo: área $A=x\,y$ , perímetro $P=2x+2y$ .
Caja sin tapa (base cuadrada $x$ , altura $h$ ): volumen $V=x^2h$ , material $S=x^2+4xh$ .
Cilindro (radio $r$ , altura $h$ ): volumen $V=\pi r^2h$ , área total $S=2\pi r^2+2\pi r h$ .
Cono (radio $r$ , altura $h$ , generatriz $l$ ): volumen $V=\tfrac13\pi r^2h$ , área lateral $\pi r l$ .

Ejemplo resuelto

Problema: con $60$ m de valla se cerca un corral rectangular apoyado en una pared (ese lado no lleva valla). Halla el área máxima.
Llama $x$ a cada lado perpendicular a la pared e $y$ al paralelo; valla: $2x+y=60\Rightarrow y=60-2x$ .
Función objetivo: $A=x\,y=x(60-2x)=60x-2x^2$ .
Deriva e iguala a cero: $A'=60-4x=0\Rightarrow x=15$ , y sustituye $y=30$ .
Comprueba: $A''=-4<0$ , es un máximo.
Área máxima: $A=15\times 30=450\ \text{m}^2$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Graficar la función objetivo:

menu›Graph›escribe Y1›DRAW

Máximo de la curva:

Graph›SHIFT›G-Solv›MAX

Mínimo de la curva:

Graph›SHIFT›G-Solv›MIN

Resolver la ecuación f'(x)=0: (o )

menu›Equation›Solver

Run-Matrix›SolveN

Valor de la derivada en un punto:

menu›Run-Matrix›OPTN›CALC›d/dx

Términos IB

Halla / Calcula: obtén el valor exacto derivando e igualando a cero.
Muestra que: parte de los datos y llega a la expresión pedida justificando cada paso.
Determina el máximo/mínimo: da el valor óptimo y verifica con $f''$ o el signo de $f'$ .
Interpreta: explica qué significa el resultado en el contexto (por ejemplo, "el costo mínimo es…").

Conceptos clave

Optimizar: hallar el valor máximo o mínimo de una cantidad (área, volumen, costo, tiempo…).
Función objetivo: la cantidad $Q$ que se quiere maximizar o minimizar, escrita en función de una sola variable.
Restricción: la condición extra (perímetro fijo, volumen dado…) que relaciona las variables y permite eliminar una.
Punto estacionario: donde $f'(x)=0$ ; ahí la recta tangente es horizontal.
Máximo/mínimo local: el punto más alto o más bajo de su entorno; el óptimo suele estar en un estacionario.

Cómo plantear el problema

Identifica la cantidad a optimizar y nómbrala $Q$ .
Escribe $Q$ con las variables del dibujo (por ejemplo $Q=x\,y$ ).
Usa la restricción para despejar una variable y sustituir: deja $Q$ en función de una sola, $Q(x)$ .
Deriva, iguala a cero y resuelve: $Q'(x)=0$ .
Comprueba que sea máximo o mínimo y responde con unidades.

Criterio de la segunda derivada

Calcula $f''(x)$ en el punto estacionario.
$f''(x)>0$ : la curva es cóncava hacia arriba → mínimo.
$f''(x)<0$ : la curva es cóncava hacia abajo → máximo.
$f''(x)=0$ : no decide; usa el criterio de la primera derivada.

Fórmulas útiles para modelar

Rectángulo: área $A=x\,y$ , perímetro $P=2x+2y$ .
Caja sin tapa (base cuadrada $x$ , altura $h$ ): volumen $V=x^2h$ , material $S=x^2+4xh$ .
Cilindro (radio $r$ , altura $h$ ): volumen $V=\pi r^2h$ , área total $S=2\pi r^2+2\pi r h$ .
Cono (radio $r$ , altura $h$ , generatriz $l$ ): volumen $V=\tfrac13\pi r^2h$ , área lateral $\pi r l$ .

Ejemplo resuelto

Problema: con $60$ m de valla se cerca un corral rectangular apoyado en una pared (ese lado no lleva valla). Halla el área máxima.
Llama $x$ a cada lado perpendicular a la pared e $y$ al paralelo; valla: $2x+y=60\Rightarrow y=60-2x$ .
Función objetivo: $A=x\,y=x(60-2x)=60x-2x^2$ .
Deriva e iguala a cero: $A'=60-4x=0\Rightarrow x=15$ , y sustituye $y=30$ .
Comprueba: $A''=-4<0$ , es un máximo.
Área máxima: $A=15\times 30=450\ \text{m}^2$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Graficar la función objetivo:

menu›Graph›escribe Y1›DRAW

Máximo de la curva:

Graph›SHIFT›G-Solv›MAX

Mínimo de la curva:

Graph›SHIFT›G-Solv›MIN

Resolver la ecuación f'(x)=0: (o )

menu›Equation›Solver

Run-Matrix›SolveN

Valor de la derivada en un punto:

menu›Run-Matrix›OPTN›CALC›d/dx

Términos IB

Halla / Calcula: obtén el valor exacto derivando e igualando a cero.
Muestra que: parte de los datos y llega a la expresión pedida justificando cada paso.
Determina el máximo/mínimo: da el valor óptimo y verifica con $f''$ o el signo de $f'$ .
Interpreta: explica qué significa el resultado en el contexto (por ejemplo, "el costo mínimo es…").