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Potencias, logaritmos y ecuaciones

Matemáticas: Aplicaciones e Interpretación

Conceptos clave

Una potencia $a^{n}$ es multiplicar $a$ por sí mismo $n$ veces; $a$ es la base.
Un logaritmo responde: ¿a qué exponente elevo la base para obtener el número?
Logaritmo y exponencial son operaciones inversas: se deshacen mutuamente.
Base $10$ se escribe $\log$ ; base $e$ se escribe $\ln$ (logaritmo natural).
Un sistema es un conjunto de ecuaciones que deben cumplirse a la vez.

Leyes de los exponentes

Producto: $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$ .
Cociente: $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ .
Potencia de potencia: $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$ .
Exponente cero y negativo: $a^{0}=1$ , $\;a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ .
Raíces como exponentes: $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$ , $\;a^{m/n}=\sqrt[n]{a^{m}}$ .

Logaritmos: definición y evaluación

Definición: $\log_{a}b=x\iff a^{x}=b$ (con $a>0$ , $a\neq1$ ).
Casos base: $\log_{a}a=1$ , $\;\log_{a}1=0$ .
Se deshacen: $a^{\log_{a}x}=x$ y $\log_{a}\!\left(a^{x}\right)=x$ .
Evalúa $\log$ (base 10) y $\ln$ (base $e$ ) directamente con la GDC.

Leyes de los logaritmosNS

Producto: $\log(xy)=\log x+\log y$ .
Cociente: $\log\!\left(\dfrac{x}{y}\right)=\log x-\log y$ .
Potencia: $\log\!\left(x^{m}\right)=m\log x$ .
Cambio de base: $\ln$ .

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Para $a^{x}=b$ : aplica $\ln$ a ambos lados $\Rightarrow x=\dfrac{\ln b}{\ln a}$ .
Para $\log_{a}x=c$ : reescribe como exponencial $\Rightarrow x=a^{c}$ .
Comprueba: el argumento de un logaritmo debe ser positivo.
Alternativa AI (GDC-first): grafica ambos lados y halla la intersección.

Sistemas de ecuaciones lineales

Dos incógnitas: dos rectas; la solución es su punto de corte.
Puede haber una solución, ninguna (rectas paralelas) o infinitas (misma recta).
En AI se resuelven con la calculadora (hasta 3 incógnitas).
Ordena cada ecuación como $ax+by=c$ antes de introducir los coeficientes.

Ejemplo resuelto

Problema: resuelve $3\times2^{x}=48$ .
Aísla la potencia: $2^{x}=\dfrac{48}{3}=16$ .
Aplica $\ln$ : $x=\dfrac{\ln 16}{\ln 2}$ .
Como $16=2^{4}$ : $x=4$ .

En la calculadora — CASIO fx-CG50

Logaritmo en cualquier base: (plantilla logab)

menu›Run-Matrix›log_□(

Resolver una ecuación: (o )

menu›Equation›Solver

Run-Matrix›SolveN

Sistemas lineales:

menu›Equation›Simultaneous›elige 2 o 3 incógnitas

Intersección de dos curvas:

menu›Graph›G-Solv›ISCT

Términos IB

Resuelve: halla el valor de la incógnita (exacto si se puede).
Muestra que: parte de la ecuación y llega al resultado justificando.
Escribe en la forma: reordena usando las leyes de exponentes o logaritmos.
Halla la solución del sistema: da el valor de cada incógnita.